Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
точкой РВоо или РСо°, а точкой РАо°;
Фиг. 12.9. Карта рельефа для случая топологии, соответствующей
фиг. 12.8.
следовательно, перенормировка, начинающаяся на канонической поверхности,
определяется единственной ренормирован-ной траекторией GA.
С каждой неподвижной точкой Ж* в пространстве 5 ассоциируется некоторая
область взаимодействий Б{Ж*) в этом пространстве. Область Б(Ж*)
определяется как множество всех таких начальных взаимодействий Жц е 5,
для которых траектория Жи выходящая из точки Жо, при f -*¦ оо стремится в
точку Ж*. На фиг. 12.8 область, соответствующая точке Ль включает все
точки, находящиеся выше критической поверхности; область, соответствующая
точке РАоа, содержит все точки критической поверхности, расположенные
слева от Рв<=°; область, соответствующая точке РВоо, состоит из одной
точки Рвоо и т.д. Если заданная каноническая поверхность С
198
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
пересекает область тогда неподвижная точка Ш* свя-
зана с этой поверхностью.
Размерность области D{26*) зависит от степени нестабильности точки Ж*\
если Ж* является д-кратно нестабильной неподвижной точкой, тогда
размерность области Б(Ж*) на п меньше размерности пространства 5. Это
легко видно на примере фиг. 12.8. Как только будет дано определение
нестабильности, обнаружить этот факт в общем случае будет почти
тривиально.
Правило размерности для областей приводит к тому, что неподвижные точки с
высокой степенью нестабильности трудно обнаружить. Предположим, что
каноническая поверхность - это кривая (единственным свободным параметром
ее является температура или голая масса). Тогда маловероятно, что
каноническая поверхность пересечет какую-нибудь область, соответствующую
двукратно нестабильной неподвижной точке, такой, например, как Рв<х>• Это
с очевидностью следует из фиг. 12.8. Данное правило выполняется при
условии, что такие топологические структуры, как неподвижные точки,
критическая поверхность и т. д., случайным образом расположены в
пространстве 5 по отношению к любой a priori заданной канонической
поверхности. Исключением из этого правила является случай, когда имеется
симметрия (см. ниже).
В теории критических явлений критические точки определяются числом
термодинамических параметров, которые в этой точке фиксированы. В случае
обычной критической точки, соответствующей ферромагнетику, требуется,
чтобы фиксированными были температура Т и магнитное поле; следовательно,
соответствующая неподвижная точка является двукратно нестабильной. Если,
как в этих главах, мы определяем само пространство 5 так, что исключаем
магнитные поля, тогда единственным фиксированным параметром будет
температура Т и неподвижная точка окажется однократно нестабильной. Таким
образом, каждая из точек РА(Х и Рс " в примере на фиг. 12.8 могла бы
описывать критическое поведение, соответствующее обычной критической
точке. Существование двух неподвижных точек означало бы существование
двух различных наборов критических показателей; различные физические
системы (соответствующие различным каноническим поверхностям) были бы
разделены на два класса,
199
ГЛАВА 12
причем каждый класс в отдельности демонстрировал бы общее критическое
поведение. Это по-прежнему не что иное, как гипотеза универсальности,
однако в более ограниченной форме, чем предыдущие формулировки (см.,
например, работу [9]).
Существуют критические точки, в которых вместо двух термодинамических
параметров фиксированы три. Это так называемые три-критические точки
(см., например, работу [125]). Исключив опять магнитное поле, получим
всего два фиксированных параметра. Дополнительным термодинамическим
параметром является также, например, концентрация. Наиболее популярная
три-критическая точка имеет место в растворах Не3 - Не4: двумя
термодинамическими параметрами являются концентрация Не3 и температура.
Три.-крити-ческая точка соответствует двукратно неустойчивой неподвижной
точке, такой, например, как Рвоо (исключаем внешние поля: в системе Не3-
Не4 нет практического способа имитировать внешнее поле, как у магнитных
систем). Для размерностей, близких к 4, гауссова неподвижная точка,
рассмо* тренная в гл. 3, является двукратно нестабильной; Ридель и Вегнер
[46] предположили, что эта неподвижная точка описывает три-критичеокую
точку в системе Не3 - Не4.
В теории поля степень нестабильности неподвижной точки определяется
числом свободных параметров в перенормированной теории, соответствующей
этой неподвижной точке. В примере, обсуждавшемся выше (см. фиг. 12.7),
имеется однократно нестабильная точка и соответственно только один
свободный параметр, а именно перенормированная масса рд. [Эффективное
взаимодействие, отвечающее обрезанию рде*, однозначно определено как
точка на траектории G (фиг. 12.7) с корреляционной длиной | = е~1.
Следовательно, других свободных параметров нет.] Для двукратно
нестабильной неподвижной точки имеется однопараметрическое семейство
