Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
возникают из-за локальных флуктуаций температуры, химического потенциала
и т. д.; каждый тип таких флуктуаций соответствует некоторому
определенному функционалу О [х, о]. В теории поля эти функционалы после
перенормировки соответствуют составным локальным операторам *). (С
первого взгляда кажется, что типичные локальные операторы, такие, как
J J ехр (- х2 у2) s (х) s (у),
X у
совсем не похожи на локальные произведения в теории поля, например ^(х).
Однако если безразмерное расстояние |х - у \ ~ 1 в гамильтониане Ь3в0
выразить в физических еди* ницах, то оно станет пропорциональным АсГ1, а,
когда Ло -*¦ оо, физическое расстояние между переменными х и у будет
стремиться к 0.) Особые функционалы <Ут[х, а] соответствуют локальным
операторам Каданова [9, 126], которые имеют масштабные индексы dm. В
теории поля они определяют базис из локальных масштабно-инвариантных
операторов От(х) [94]; величина dm является аномальной размерностью
оператора 0т. (Дальнейшее обсуждение этого вопроса см. ниже.)
До сих пор в нашем анализе предполагалось, что " Ж, так что возмущение
6<5^о мало. Для большей общности рассмотрения предположим, что Жо
является критическим взаимодействием некоторой системы и определяется на
критической поверхности в области, соответствующей неподвижной точке Ж,
однако не в непосредственной близости от этой точки. Тогда существует
критическая траектория которая при t -> оо стремится к точке Ж.
Рассмотрим малые отклонения от критической траектории:
Ы = 2ф + ЬЗЮи (12.18)
*) См. гл. 9. - Прим. перев.
208
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В этом параграфе под малостью возмущения h36t понимается следующее (на
языке гл. 7): параметр t соответствует либо начальной переходной области,
где взаимодействие Ж существенно отличается от Ж*, либо промежуточной
области, в которой Ж1 Я", а возмущение bcffit тем не менее мало. "Область
корреляционной длины", которая соответствует большим значениям t ив
которой величина б ffit велика, здесь рассматриваться не будет. В
переходной области возмущение ЬЖг удовлетворяет некоторому
линеаризованному уравнению, но с оператором Ь\_ЖТ\, зависящим от времени
t. Для больших значений t, когда Ж\ =* Ж, оператор L [ж(\ сводится к
оператору L, который определен выше. Для больших значений t имеет место
некоторая теорема разложения; возмущение бЖг Для больших t удовлетворяет
уравнению
(12.8) и, следовательно, ему соответствует разложение вида (12.17) с
коэффициентами ст, не зависящими от времени t.
Чтобы показать, что величина dm - аномальная размерность, полезно
рассмотреть корреляционные функции, включающие в себя локальное
возмущение О [х, <т]. Мы можем вычислить такие корреляционные функций,
как
Z~l (s (xi) ... s (xm) О [x, о] exp (жЦ))
с помощью производящего функционала
8 (х) О [дс, а] + Ж% [а] j.,
(12.19)
включающего в себя член, содержащий функцию g(x) и рассматриваемый далее
в первом порядке по g(дс). Начальное взаимодействие Ж0 выберем теперь в
виде
Ж) -+¦ ^ g (*) О [*. сг].
X
Так как вклад g(дс) может рассматриваться в первом порядке,
взаимодействие Жг имеет вид, сходный с выражением (12.7):
2jgt = %g*+^g( *) ст ехр (- dmt) От [дсв_<, а]. (12.20)
х т
209
Z [/', g] = Z ' J ехр И /(дс) s (дс) +
а
ГЛАВА 12
[Если мы будем использовать уравнение ренормализационной группы из гл.
11, производящий функционал (12.19) получится путем подстановки
взаимодействия Ж% в соотношение (11.32).]
Таким образом мы пришли к рассмотрению корреляционных функций, включающих
в себя локальные операторы От\х, а] и вычисляемых с помощью
взаимодействия Ж*, например
(*> *1" • • • > ХП) ~
= (Zr'(s(*i) ... s{xn)Om[x, <г] ехр {Ж [а]}>, (12.21)
где Z* - статистическая сумма, соответствующая взаимодействию Ж*. Можно
показать, что эта корреляционная функция удовлетворяет закону подобия,
аналогичному соотношению (7.45):
fm(x, xv • • •" 0 =
=exp(-ra^)exp(-rfmf)f;(*e-*, xxer\ ..., *яе~0; (12.22)
соотношение (12.22) означает, что dm-аномальная размерность оператора От
точно так же, как ds - аномальная размерность, соответствующая спину
s(*). Мы здесь дадим только набросок доказательства соотношения (12.22).
Функцию xv ..., хп) можно вычислить с помощью производящего функционала
(Z*)-1 (s (*0 ... s (хп) ехр | Ж\а\ + J g (х) 6т [ж, а] , (12.23)
в котором член, содержащий функцию g(*), рассматривается только в первом
порядке. Уравнения ренормализационной группы с начальным взаимодействием
Ж0 = Ж*+\§(х)<Ут[х,о]
X
можно проинтегрировать. В результате рассмотренный выше производящий
функционал можно записать в виде
(Z*)-1 ехр (- ndst) (s (*ie"0 ... s (хпе~') X
X exp ^Ж* [a] + J g (x) exp (- dj) Om [хе~\ a] j ^; (12.24)
*10
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
отсюда сразу следует искомый результат. [Если мы работаем с точными
уравнениями ренормализационной группы (см. гл. 11), тогда выражение
(s fa) ... s (хп) ехр (Ж{)) (12.25)
необходимо понимать как сокращение для функциональной производной
