Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
•ТТТ--тг ... -г-г- -jrZ [j, 3&t], (12.26)
где функционал Z[j, определяется выражением, (11.32) а функция /(x, t)
имеет вид
i (х, t) = \ ехр (iq • х) j (q, t). (12.27)
a
Более того, чтобы выражение (12.25) можно было использовать во всей
области t, необходимо провести интегрирование, скажем, от F до -f-1
вместо интегрирования от 0 до i, причем для большого значения t'.
Предполагается также, что функция р(Н (см. приложение) имеет вид bt, где
b - некоторая постоянная; величина ds равна тогда df2 - b. Функция р (/)
строится таким образом, что она не изменяется при появлении возмущения
^g(x)0[x, а].
X
Это возможно потому, что функция р(^) нам необходима только для того,
чтобы установить существование неподвижной точки Ш*, т. е. нет
необходимости изменять функцию р(?), когда рассматриваются возмущения в
окрестности точки Ж* (за исключением некоторого особого случая, которого
можно ожидать при наличии близких неподвижных точек).] В качестве
следствия из закона подобия для корреляционных функций включающих в себя
оператор (Ут[х, а], получаем, что операторам, обладающим наименьшими
значениями dm, соответствуют наиболее медленно спадающие корреляционные
функции (дальние корреляции). "Дальние корреляции" означают, что
корреляционная функция отлична от нуля для расстояний \х{ - лДйЁД.
выраженных в безразмерных единицах начального взаимодействия, т. е. в
статистической механике "дальние" по сравнению с постоянной решетки,
211
ГЛАВА 12
а в теории поля "дальние" по сравнению с расстоянием (Л0)-1,
соответствующим обрезанию. Таким образом, если для оператора О [х, о]
можно записать разложение (12.20), тогда в любой медленно спадающей
корреляционной функции его можно заменить ведущим оператором (Ут[х, а]
(т. е. оператором с наименьшей величиной dm, для которого коэффициент ст
отличен от нуля). В простой модели, рассмотренной в гл. 4, это означало,
что почти все операторы СЧх, о], нечетные по а, ведут себя как s(x), а
почти все операторы, четные по о, ве-" дут себя как плотность энергии
(порождаемая флуктуациями температуры Т). Все это является частью общей
теории операторов, предложенной Кадановым в работах [9, 126].
В рамках идей, которые здесь рассмотрены, можно получить
редукционную операторную формулу Каданова [126]
(в теории поля этому соответствует формула для разложения произведения
операторов [94, 124, 127]). Мы не будем здесь вдаваться в детали. Идея
состоит в следующем: если мы интересуемся произведением операторов
Omx{xi, o)Om^{x2, а) для больших расстояний |*i - х2\ в рамках
корреляционной функции, содержащей удаленные от хи х2 спины
s(x3), s(x4)
и т. д. ') (| х3 -- хх | | х2 - х, | и т. д.), тогда это произведение
можно включить во взаимодействие Жо, определив его следующим образом:
= Ж* + 5 \g (*ь х2) От, (хи О) 0mi (х2, or). (12.28)
Если теперь это взаимодействие рассматривается с точностью до первого
порядка по g, то для больших t мы получаем выражение
Sit = ж* + 5 5 g (*I, х2) Yj Ст (*1 - Х2) ехр (- dmt) От (х^-*, ст),
Хх Х2 т
(12.29)
которое устанавливает соответствие между произведением операторов и
суммой по операторному базису.
Следующая задача состоит в исследовании трансляционно-инвариантных
возмущений [63]. Это означает, что возмуще-
¦) То есть оператор <Jmi (*,, а) Отг (*2, ст) вместе с другими
операторами содержится в произведении, определяющем некоторую
корреляционную функцию, свойства которой и исследуются в дальнейшем. -
Прим. перев.
212
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ние б^о имеет вид (12.9) с функцией g(x), не зависящей отх, т. е. g(x) =
g. В этом случае замена переменных х -" хе* в выражении (12.17) приводит
к выражению
ЬЖг = g^cm ехр {(d - dm) t} ^ Om [л, от]. (12.30)
т х
В этом выражении члены, для которых dm < d, растут с t, в то время как
члены, для которых dm > d, убывают. Следовательно, число существенных
операторов От (dm <. d) определяется степенью нестабильности неподвижной
точки Ж*. Таким образом, мы можем определить n-кратно нестабильную
неподвижную точку Ж* как неподвижную точку, которой соответствует п
существенных операторов. [Если имеется некоторое число "неприятных"
операторов, соответствующих dm - d, то для определения того, дают ли эти
операторы вклад в нестабильность или нет, необходимо провести вычисление
во втором порядке по функции §(*) (см. работу [63] и гл. 13).]
В заключение отметим, что часть области, соответствующей точке Ж*, в
окрестности самой Ж*, легко определить: она состоит из всех возмущений,
не содержащих ни одного существенного оператора. Это означает, что
размерность области Ж* на п меньше размерности пространства S.
Глава 13
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ - ТЕОРИЯ
ПОЛЯ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ #_4
В гл. 12 мы показали, что для любой фиксированной точки Ж* существует
область взаимодействий D, критическое поведение которых описывается
гамильтонианом Ж*. И для статистической механики, и для теории поля
