Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
ренормированных траекторий; в этом случае параметр, определяющий эти
траектории, является в дополнение к ря вторым параметром
перенормированной теории.
Таким образом, перенормированная теория поля, связанная с нетривиальной
неподвижной точкой для d < 4 (см. гл. 4), не имеет свободных постоянных
взаимодействия. В противоположность этому неподвижная точка,
рассматриваемая Гелл-Манном и Лоу в работах [13, 76], должна
соответствовать двукратно нестабильной неподвижной точке, по-
200
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
тому что в перенормированной теории остаются два свободных параметра
(масса и заряд). [Однократно нестабильные неподвижные точки,
рассматриваемые здесь, соответствуют "инфракрасно-стабильным" неподвижным
точкам из работы [76], в то время как двукратно нестабильные
соответствуют "ультрафиолетовостабильным" неподвижным точкам из работы
[76].] Когда мы строим перенормированную теорию с двумя свободными
параметрами, такую, например, какой является обычная перенормированная
теория взаимодействия ф4, каноническая поверхность также должна быть по
крайней мере двухмерной, а каноническая кривая <5^>(Ло) включать два
параметра, зависящих от обрезания Ло [например, ро(Ло) и Ло (Л0) ]. Этот
факт не будет обсуждаться де^ тально (см., однако, гл. 13). Наконец,
чтобы в перенормированной теории получить произвольную перенормированную
постоянную взаимодействия, нам необходима и перенормировка постоянной
взаимодействия'(параметр Я0, зависящий от параметра обрезания Л0) и
двукратно нестабильная неподвижная точка.
Существуют аргументы (см. работу [76], мы их не рассматриваем здесь из-за
недостатка места), согласно которым только неподвижные точки ограниченной
нестабильности будут связаны с реальными элементарными частицами. Эта
гипотеза, сформулированная более точно, звучит следующим образом: только
стабильные неподвижные точки имеют отношение к реальной физике при
условии, что пространство 5 включает только взаимодействия, сохраняющие
соответствующую внутреннюю симметрию. Могут существовать нестабильности,
которые ведут к нарушению симметрии (эти нестабильности соответствуют
"обобщенным массовым членам" в работе [76]), однако мы надеемся* что их
не так много. Эта гипотеза является основой для получения взаимодействий,
которые имеют только несколько свободных параметров; она заменяет собой
канонический подход к рассмотрению простых полиномиальных взаимодействий.
2. Симметрии
Следующей задачей является рассмотрение влияния на то-, пологический
анализ пространственно-временных или внутренних симметрий. Мы сделаем
здесь только несколько замеча-
ло!
ГЛАВА 12
ний, поскольку это такая проблема, которую можно усложнять до
бесконечности; см. также работы [43-45].
В общем случае при преобразовании U, соответствующем ренормализационной
группе (определенном таким же образом, как в гл. 11), будет сохраняться
любая симметрия, которую можно включить во взаимодействие Ш. При
преобразовании U сохраняется симметрия относительно вращений (в случае
теории поля евклидова симметрия). В отсутствие магнитного поля
сохраняется симметрия относительно преобразования од-+ - оя. Если
переменная aq имеет внутренние компоненты [как, например, в случае
ферромагнетика Гейзенберга или теории поля с изоспином (см. гл. 9)], то
при преобразовании U сохраняется внутренняя симметрия относительно
вращений. Если имеет место симметрия, то в пространстве S будут
подпространства, включающие взаимодействия, имеющие эту симметрию.
Существуют также взаимодействия, нарушающие симметрию: решеточные модели
вместо полной симметрии относительно вращений обладают кубической
симметрией, а взаимодействия, включающие внешние магнитные поля, нарушают
симметрию относительно отражений aq -* -+-oq.
Подпространства пространства 5, включающие взаимодействия, сохраняющие
некоторую симметрию, инвариантны относительно преобразования U. Если мы
не интересуемся взаимодействиями, нарушающими симметрию, мы можем
переопределить пространство 5 так, чтобы оно являлось подпространством
взаимодействий, которые сохраняют симметрию, и провести топологический
анализ настоящей главы в этом подпространстве. Действительно,
пространство 5 в этой главе рассматривалось как пространство, в котором
взаимодействия, включающие внешнее поле, были опущены.
Необходимо отметить некоторое следствие из этого факта. Предположим, что
мы интересуемся критической точкой ферромагнетика, считая внешнее
магнитное поле равным нулю. Как было отмечено выше, эта критическая точка
соответствует в пространстве 5 однократно нестабильной неподвижной точке,
которая соответствует взаимодействию, сохраняющему симметрию: aq -> - aq.
В большем пространстве 5', включающем все взаимодействия, та же самая
неподвижная точка могла бы быть в сильной степени нестабильной; нет
гарантии, что она будет только двукратно нестабильна, как утверждалось
выше. Дополнительные нестабильности должны
