Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
302
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
были бы означать существование, кроме внешнего поля, дополнительных
термодинамических параметров, которые в критической точке фиксированы.
Равенство внешнего поля нулю означает, однако, что нет никаких
взаимодействий, которые нарушали бы симметрию спинов относительно
отражения: в действительности, полагая внешнее поле равным нулю, мы
полагаем также равными нулю дополнительные термодинамические параметры.
Может случиться так, что все неподвижные точки в пространстве S сохраняют
симметрию, скажем симметрию относительно вращений. Тогда, даже если
начальное взаимодействие нарушает симметрию, перенормированная теория,
ассоциирующаяся с неподвижными точками, сохраняет эту симметрию.
Например, кривая С на фиг. 12.7 могла бы представлять множество
взаимодействий на решетке между ближайшими соседями, причем эти
взаимодействия обладают только кубической или гиперкубической симметрией.
Решетка используется также для того, чтобы обеспечить некоторую
положительную метрику (см. гл. 10)1). Если кривая G лежит в
подпространстве, соответствующем полной евклидовой симметрии, тогда
перенормированная теория будет евклидово-инвариантной. Чтобы кривая G
лежала в евклидово-инвариантном подпространстве SR, необходимо, чтобы
неподвижные точки Роо и Р0, а также траектория G при замене пространства
5 на SR по-прежнему существовали. Конечно, решающим является то, что
преобразование U само по себе сохраняет евклидову инвариантность: в
противном случае маловероятно, чтобы такая траектория, как G, оставалась
в пространстве SR.
Мы не можем гарантировать a priori, что все неподвижные точки принадлежат
пространству SR или что все траектории, такие, как траектория G,
выходящая из неподвижной точки, остаются в пространстве SR. Если говорить
более обще, то, для того чтобы одновременно достичь и евклидовой
инвариантности, и положительности2), необходимо иметь траектории,
порождаемые взаимодействием с ближайшими сосе-
*) Имеется в виду положительная метрика в гильбертовом пространстве
состояний (см. конец гл. 10). - Прим. перев.
г) То есть положительной метрики в пространстве состояний (см, гл. 10). -
Прим. перев,
203
ГЛАВА 12
дями и оканчивающиеся в пространстве SR. Так ли это на самом деле,
необходимо проверять в каждом отдельном рассматриваемом случае.
Кажется вероятным, что данному условию можно удовлетворить в рамках
теории возмущений (малые и), однако это не было проверено с должной
аккуратностью.
Могут существовать также неподвижные точки, которые нарушают возможные в
системе симметрии. Специальный пример некоторых неподвижных точек,
нарушающих внутреннюю вращательную симметрию, и других точек, сохраняющих
ее, был рассмотрен в работе [43]. Имеется также малое количество
нестабильных неподвижных точек, которые могут сохранять или нарушать
симметрию; только конкретное вычисление может определить, какая из точек
сохраняет, а какая нарушает симметрию. Если неподвижная точка нарушает
некоторую непрерывную симметрию, то мы можем использовать преобразования,
соответствующие этой симметрии, для построения из этой неподвижной точки
некоторой неподвижной поверхности.
Вернемся опять к проблеме перенормировки. Как установлено в гл. 3,
существует гауссова неподвижная точка, а также некоторая кривая, такая,
например, как G на фиг. 12.6, которая содержит только гауссовы
взаимодействия. Для размерностей меньше 4 (размерность пространства-
времени) имеется также негауссова неподвижная точка, однако для
размерности, равной 4, гауссова неподвижная точка является единственной
до сих пор известной (см. гл. 13). Это означает, что, если даже
каноническая поверхность содержит негауссовы взаимодействия,
перенормированная теория будет чисто гауссовой, определяемой кривой G, т.
е. теорией свободного поля. Способность теорий со взаимодействием
приводить после перенормировки к теориям свободного поля тесно связана с
перенормировкой постоянной взаимодействия в рамках теории возмущений.
См., например, часть 3 G работы [76].
Таким образом, серьезной проблемой теории перенормировок при d - 4
является нахождение перенормированной теории со взаимодействием.
Простейший способ установить существование таких теорий заключался бы в
обнаружении негауссовой неподвижной точки или по крайней мере конечной
границы для области, соответствующей гауссовой неподвижной точке (см. гл.
13).
204
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
§ 4. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И АНОМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
1. Линеаризованные уравнения ренормализационной группы
Следующей нашей задачей является обсуждение преобразования
ренормализационной группы вблизи некоторой неподвижной точки. Вблизи нее
будут определены линеаризованные уравнения. Собственные функции этих
линеаризованных уравнений дают некоторое полное базисное множество
локальных операторов (в статистической механике это - локальные операторы
Каданова, введенные им в работах [9, 126]). Собственные значения являются
