Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
функции ф(ыо, ?о). Высокотемпературные разложения определены для
решеточных моделей статистической механики. В гл. 10 было разъяснено, что
эти решеточные модели определяют некоторые квантовые теории поля. Здесь
будет использован язык статистической механики. Исходное взаимодействие
на решетке берется в том же виде, что и в гл. 10:
где К, Ь и и0 - свободные параметры. Функция ф (и0, У будет получена из
спин-спиновой корреляционной функции во внешнем поле h:
(13.9)
(13.10)
^0 = К Z ? *Л.+г - т Z - "о ? *1 (13.11)
Гп (h, К, Щ) -
¦Т------------------------7-V -СТ ¦ (13.12)
^ехр (- Ж0) ехр ? s"^
222
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
ГД6 +00
<...)-П [
я -ОО
Высокотемпературное разложение является разложением функции Yn(h, К, щ)
по степеням параметра К. Подобное разложение весьма широко обсуждалось
(см., например, в работе [97]), и мы не станем излагать его здесь еще
раз. Чтобы получить разложение функции Г"(/г, К, "о) ДО девятого порядка
по К, был использован метод Яснова и Уортиса [129]. Расчеты были
проведены Вильсоном с помощью компьютера. В настоящее время существуют
программы [113, 130], позволяющие провести вычисления до 12-го порядка по
К¦ При разложении по параметру К для каждого члена разложения получаем
интегралы вида
(13лз)
т К. а па)
где Р М означает произведение спинов. Этот интеграл распадается на
произведение отдельных интегралов: по одному для каждого узла решетки.
Для какого-либо узла интеграл в свою очередь имеет вид
+°°
^ dss1 ехр | - j s2 - UoS4 + hs j. (13.14)
- оо
Подобные интегралы были рассчитаны численно с высокой точностью с помощью
компьютера.
Ничто не запрещает нам произвести в этих интегралах масштабное
преобразование sn -> ?s"; единственным следствием его является масштабное
преобразование функции Гя:
Г"->?Т",
что не оказывает влияния на вычисление функции ф(ыо. |о), которое
излагается ниже. Вследствие этого произвола нет необходимости проводить
вычисления для всех значений параметров К, Ъ и и0. При численных расчетах
было использовано условие нормировки j
Y + ы°= 1. (13.15)
223
ГЛАВА 13
Спин-спиновая корреляционная функция была вычислена для значений
параметра ы0, приведенных в табл. 13.1. Она была получена в виде
разложения по К и ft.
Таблица 13.1
"о *с
0 0,25
0,25 0,329
0,5 0,3637
1 0,4004
2 0,4276
3 0,4322
5 0,4218
7,5 0,4000
10 0,3794
20 0,3362
40 0,3152
ОО 0,3000
Теперь необходимо выразить функцию ф(и0, |о) через спин-спиновую
корреляционную функцию. Во-первых, перейдем о г переменных |0 к К.
Корреляционная длина |0 является функцией переменной К (для
фиксированного значения параметра и0) и стремится к оо, когда К-+Кс(ио),
где Кс(и0) - критиче" ское значение переменной К¦ Таким образом, ф будет
рассматриваться как функция параметров и0 и К[ф(мц, К)], а исходная
функция ф(и0) имеет вид
Ф (мо) = Ф ("о. Кс (м0)). (13.16)
В качестве определения |о, используемого здесь, служит "эффективный
радиус корреляции", введенный в гл. 3 [соотношение (3.30)]:
d. in Г9 (0, к> и0)
?2_________
=0
dq2
q~ о
(13.17)
где
Гq (h, К, и0) = Т, ехр (iq • п) Г" (/г, К, "о). (13.18)
224
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Чтобы с помощью выражения (13.10) определить функцию ¦$>, необходимо
знать, каким образом можно зафиксировать "1 ("о, 1о) • Для этого нам
нужно найти величину, которую можно рассчитать и выразить через функцию
Гq(h, К, "о), но которая зависит лишь от щ.
Рассмотрим эффективное взаимодействие соответ-
ствующее моменту времени, когда траектория ренормализационной группы
пересекает поверхность g = 1. Это эффективное взаимодействие фиксировано,
если определено значение величины Hi ("о, |о). Таким образом, любая
величина, зависящая только от взаимодействия 2@tit будет зависеть
фактически только от и\. Формулу для функции Г9 при h = 0 с помощью
взаимодействия можно представить следующим образом:
Г9(0, К, но) = ехр(- dty) ?2 (u0, К, h) F2{qexp{tx), щ), (13.19)
где
F(au\ ло оП\
">)- *<">(*¦+*,)-' (13,20)
Zj - статистическая сумма для гамильтониана а величина ?(ы0> К, tx) -
множитель, соответствующий перенормировке спинов. [См. уравнения (7.15) и
(7.25).] Поскольку экспонента ехр(^) равна корреляционной длине g0, имеем
(в этой главе d = 4):
fq(0, К, и0) = ^2(и0, К, tx)F2(i0q, их). (13.21)
Производная d2Tq(h, К, u0)ldh21"=0 (если отбросить несвязанные диаграммы
Фейнмана) является четырехспиновой корреляционной функцией. Как легко
видеть, она имеет следующее представление:
-("о, К, tx) F4 (g"tf, их). (13.22)
[Выражения (13.21) и (13.22) справедливы лишь для больших значений
корреляционной длины go: если параметр "о порядка 1, а корреляционная
длина go невелика, тогда величина "1 также порядка 1. В таком случае
гамильтониан наряду с их зависит от промежуточных переменных;
следовательно, функции F2 и Ft, зависят, помимо goq и "j, и от других
переменных. Здесь все это несущественно, поскольку мы нуж-
