Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
аномальными размерностями (масштабные индексы у Каданова) этих локальных
операторов. Операторы с аномальными размерностями, меньшими й, называются
"существенными". Число таких операторов совпадает, со степенью
нестабильности неподвижной точки. Операторы с размерностью, большей й,
называются "несущественными". Операторы с размерностью, равной й,
доставляют некоторые неприятности (они могут давать либо не давать вклад
в степень нестабильности; они вызывают появление долго живущих переходов
(см. гл. 7) и другие усложнения [63]).
В работе [63] Вегнер обсуждает поведение вблизи неподвижной точки, причем
идет дальше простого линейного приближения. Этот анализ будет продолжен в
абстрактной форме с весьма общими предположениями, которые подкрепляются
лишь некоторыми примерами.
Рассмотрим траекторию Жи удовлетворяющую уравнению (12.1), и предположим,
что Ж{ ж Ж*, где Ж* - неподвижная точка. Тогда можно записать
Ж{ = Ж* + ЬЖи (12.7)
где добавка 6^ мала. Возмущение bЖt удовлетворяет уравнению
-jj = L ЪЖ1 + О \_ЬЖ)\ (12.8)
где 0[дЖ?]- члены второго порядка по постоянной взаимодействия. Оператор
L является линейным оператором; он связан с преобразованием в гл. 11 и
подробно рассмотрен в приложении. Оператор L зависит от неподвижной точки
Ж*.
205
ГЛАВА 12
Матрица М размерами 2X2 [ем. в гл. 4 выражение (4.32)] также служит
примером оператора L.
Начальное взаимодействие определяется обычно интегралом по всему
пространству от плотности энергии. Однако его будет удобно рассмотреть
как локализованное возмущение 6<?^о- Запишем в общем виде
6Ж0=\§(х)б[х, о], (12.9)
X
где g (х) - некоторая произвольная малая функция, а б[х, а] -
произвольная плотность взаимодействия.
Удобно рассматривать трансляционно-инвариантные плотности б [дс, о].
Примерами трансляционно-инвариантных плотностей О [ж, а] являются:
s (ж), J ехр {- (х - у)2} s (у),
У
jj ^ ехр {- (х - у)2} ехр {- (х - г)2} s (у) s (г) и т. д.,
У *
где s (х) -- фурье-образ величины aq. (Формальное определение см. в
приложении.) В линейном приближении возмущение линейно по g(x). Выражение
(12.9) можно переписать в виде
\g(x)6[xe~t, а, /], (12.10)
X
где в аргументе функции О по причинам, которые мы объясним ниже, вместо
переменной х стоит переменная хе~К
Вполне естественно рассмотреть экспоненциальные решения уравнения (12.8),
а именно решения вида
b<№t - ехр (- dmt) бт [а]. (12.11)
Функционалы От должны удовлетворять уравнению на собственные значения:
-dm6m[o] = L-Om[<j]. (12.12)
Явные примеры решений, выраженных через локализованные функционалы бт[а],
приведены в приложении. Оператор L не является эрмитовым; это означает,
что, кроме (12.11), могли бы существовать также решения, которые ведут
себя, как th ехр (^-dmt), однако на практике они не учитываются, и мы
206
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
их будем игнорировать. Мы будем предполагать, что множество решений
(Ут[о] является полным, т. е. любой локальный функционал можно выразить в
виде линейной комбинации функционалов (для большей точности см.
ниже теорему
о разложении).
Функционалы От[а] локализованы вокруг начала координат. С помощью
трансляции мы можем определить функционалы От [дс, о], локализованные в
окрестности любой точки дс. Правило связи между этими функционалами
следующее (см. приложение):
(Уш[х,о] = От]а'], (12.13)
где а' = ехр (iq • дс) aq. Эти преобразованные плотности также определяют
решения линеаризованных уравнений в виде
6S$i = ехр (- dmt) От [дсе_(, а]. (12.14)
Соотношение (12.14) доказано в приложении. Причина, по которой аргумент
дс заменяется на хе~{, заключается в том, что физически локализация
взаимодействия не должна зависеть от величины параметра t. Множитель e-i
компенсирует изменение шкалы безразмерной длины.
Предположим теперь, что у нас имеется некоторое произвольное начальное
взаимодействие, имеющее вид (12.9), где О [дс, а] - взаимодействие,
сдвинутое на произвольную величину. Оператор О [0, а] (по предположению)
можно представить в виде линейной комбинации операторов От[о]:
O[0,o] = ZcmOm[o]. (12.15)
т
Это немедленно означает, что
0[x,d\ = Y,cmOm[x, а]. (12.16)
т
Таким образом, решение b2@t, соответствующее начальному условию (12.9),
имеет вид
= J g (дс) ? ст ехр(- dj) От [хе~*, <т]. (12.17)
х т
Предостережение. На практике разложение (12.17) не всегда сходится.
Единственное действительно верное утверждение- это то, что разложение
(12.17) справедливо асимптотически для больших значений t. Некоторый
абстрактный
§07
ГЛАВА 12
пример, который иллюстрирует это утверждение, заключается в следующем.
Пусть f{q)-функция, похожая на функцию (1 + q2)~l, для которой ряд
Тейлора по степеням q2 сходится только для q2 <. 1. Рассмотрим функцию
f(qe~г) для заданного q, причем q2 > 1. При t - 0 ряд. Тейлора по q2 для
этой функции расходится. Однако для достаточно больших t разложение
справедливо.
Локальные возмущения, рассматриваемые в статистической механике,
