Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Стандартные сведения относительно таблиц Падё [97] сводятся по существу к
следующему: I) аппроксимантам [М, 0] и [0, N] доверять нельзя, 2)
"матричные элементы" вблизи середины строки ближе к искомой величине, чем
те, что находятся по ее краям, и, наконец, 3) вообще говоря, среди
матричных элементов может быть несколько "непутевых", т. е. таких чисел,
которые не имеют смысла по сравнению с соседними "матричными элементами".
Естественно, что те "матричные элементы", которые находятся в нижней
части таблицы Падё {М + N большие), лучше передают искомую величину, чем
те, что находятся в верхнем углу. Применяя эти правила к результатам
расчета, приведенным в табл. 13.3, можно заключить, что
ток2,
с ~ - - 5 (13.32)
¦Ф (20, Кс
со сравнительно большой ошибкой, скажем 20%. По-видимому, весьма
маловероятно, чтобы функция ф(20, Кс) оказалась равной 0.
Поведение функции ф("о), полученной с помощью описанной выше процедуры,
представлено на фиг. 13.4 [по оси х отложена величина х = ы0/(1 + ы0)].
Эта функция стремится
229.
ГЛАВА 13 -"
к бесконечности при Ыо = 5, а для остальных значений параметра "о она
отрицательна и конечна. Из уравнения
= (13.33)
можно усмотреть, что сначала время tw(uo) при увеличении параметра и0
возрастает и достигает максимума при и0 = 5,
Фиг. 13.4. Функция ф, вычисление которой обсуждается в тексте.
а затем для ы0 > 5 уменьшается. Расчеты должны были бы содержать очень
большую ошибку, если предположить, что время /ту(мо) обращается в оо для
конечных или бесконечных "о- Конечно, это утверждение не означает, что
бесконечные значения tw{uo) полностью исключены; приближение Падё
представляется слишком ненадежным, даже если в разложении по К известно 7
членов.
Из вычислений, проведенных выше, можно сделать вывод, что ось и0 на
критической поверхности в пространстве началь-
230
предварительное исследование нетривиальной неподвижн. точки
ных взаимодействий лежит внутри свободной области. Остается рассмотреть,
может ли добавление к исходному взаимодействию членов ф6, ф8 и т. п.
вывести нас за пределы свободной области. Подобные добавки могли быть
изучены с помощью той же самой техники, что и выше. Хотелось бы также
исследовать влияние более сложных членов градиентного типа ф2Уф2 и т. д.,
однако эти члены в рамках решеточных моделей связывают различные узлы
решетки и оценить их вклады гораздо труднее.
Фиг. 13.5. Зависимость ию от параметра и0, полученная с помощью
приближенной рекуррентной формулы.
Теория Ф4 в четырехмерном пространстве была рассмотрена также с
использованием приближенной рекуррентной формулы из гл. 6. Было
установлено следующее: для значений параметра ы0, меньших примерно 0,4,
эффективное взаимодействие Qi(y) для больших I вело себя как гху2 + и{у4,
где щ мало (порядка 1//). Для больших, но фиксированных значений I
поведение величины щ как функции параметра ио в грубых чертах передается
фиг. 13.5: величина щ возрастает до некоторого максимального значения, а
затем уменьшается, становясь отрицательной примерно при и0 ~ 0,4.
Отрицательное значение величины щ означает, что ехр {-Qi(y)} стремится к
оо для у -* оо, если только вклад от члена у6 или членов более высокой
степени не стабилизирует Qi\ это означает в свою очередь, что необходимо
исследовать поведение функции Qi(y) для больших у - задача, которая нами
пока не исследована.
231
ГЛАВА 13
Ожидаемое значение величины щ для больших, но фиксированных I связано со
временем прохождения через ворота tw(uо). Время tw(uo) - время, для
которого величина ut принимает заранее определенное значение. Поскольку
величина ut уменьшается с увеличением t, то, если время tw(u-o)
увеличивается с ростом параметра Uq, из этого следует, что величина щ для
фиксированного I также должна увеличиваться с "о; если же время tw(uo)
уменьшается, когда параметр и0 увеличивается, то величина щ также должна
уменьшаться. Следовательно, возрастание и убывание величины щ на фиг.
13.5 согласуется с результатами высокотемпературного разложения для
времени tw(u0), из которых следует,- что величина tw(u0) первоначально
растет, а затем убывает. Поскольку в приближенную рекуррентную формулу
входит большое число аппроксимаций, не стоит предавать особого значения
тому факту, что максимум tw(u0) имеет место при и0 ~ 5, в то время как
для щ максимум имеет место при и0 < 0,4.
Вывод, полученный из рекуррентной формулы о том, что величина щ для и0 >
0,4 становится отрицательной, не подтверждается результатами, полученными
с помощью высокотемпературных разложений. Ниже будет показано, что если
эффективная постоянная взаимодействия ut становится отрицательной для
конечных t и для величины и0, большей, чем некоторое "критическое"
значение u0t, тогда функция ф(ы0г) равна нулю и функция ф(и0) равна нулю,
а для значений параметра ы0, несколько меньших uot, функция ф(ис) < 0. В
терминах величины tw(u-o) это означает, что tw(u0)-* - оо при t-
Результаты для функции ф, полученные методом высокотемпературного
