Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
на ней будут точки, соответствующие сколь угодно большой величине g,
следовательно, мы можем без труда перейти к пределу Ло-1> оо. Любая такая
траектория будет называться "ренормированная траектория". Пример
некоторой ренормированной траектории, аналогичной кривой G,
рассматривался в гл. 7 и частично (как было разъяснено выше) в гл. 4.
Наоборот, любая траектория, которая при экстраполяции в обратном
направлении покидает пространство 5 прежде, чем достигает критической
поверхности, определяет некоторую нелокальную теорию, не представляющую
для нас интерес. Заметим, что нет никаких гарантий, что заданная
ренормированная траектория может быть достигнута, если начать двигаться с
данной канонической поверхности. В рассматриваемом примере траектории,
выходящие из канонической поверхности (траектории А и D на фиг. 12.7),
приближаются к кривой G, так как в этом примере имеется единственная
ренормированная траектория.
7*
196
ГЛАВА 12
Отметим, наконец, что подпространство 5(оо) - это одно то же, что и
множество всех ренормированных траекторий. Таким образом, множество 5(со)
есть просто множество всех возможных ренормированных траекторий в том
смысле, что мы можем рассматривать взаимодействие, соответствующее точке
Qoo, как перенормированное взаимодействие.
§ 3. СЛУЧАИ БОЛЬШОГО ЧИСЛА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК, ОБЛАСТИ И УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ
1. Случай нескольких неподвижных точек. Области
В практических случаях у ренормализационной группы имеется обычно более
двух неподвижных точек. Рассмотрим некоторые усложнения, которые
возникают при наличии нескольких неподвижных точек. Чтобы
проиллюстрировать эту проблему, представим, что на критической
поверхности (фиг. 12.8) в дополнение к точке Р0 имеются еще три
неподвижные точки: РАао, Рв<х и РСх,- По-прежнему будем предполагать, что
при t -* оо все траектории стремятся к неподвижным точкам.
Неподвижные точки можно классифицировать в соответствии с их
устойчивостью или неустойчивостью. Неподвижная точка является устойчивой,
если все траектории, находящиеся в ее окрестности, стремятся в эту точку.
В рассматриваемом примере только Р0 является устойчивой неподвижной
точкой. Другие неподвижные точки являются неустойчивыми, причем с разной
степенью неустойчивости. В настоящем примере предполагается, что
траектории, близкие к точке РАоо на критической поверхности (например,
траектория В на фиг. 12.8), стремятся к РАоо, в то время как траектории
вне критической поверхности отклоняются от точки РА<Х. Точка РАао
называется однократно нестабильной. В соответствии с этим определением
неподвижная точка Рс°о, согласно фиг. 12.8, является однократно
нестабильной. В то же время неподвижная точка Рвоо является двукратно
нестабильной: траектории, находящиеся на или вне критической поверхности,
отклоняются от точки РВоо. Происходит это потому (в предположении, что
других неподвижных точек нет), что скорость dcffitldt на критической
поверхности между точками РА х и РВоо должна быть всегда направлена в
сторону точки РА<Х, а между точками Рв ", и Рс " - в сторону РСаа\ причем
ско-
198
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
рость эта не может изменить направление на критической поверхности, не
проходя через нуль.
При рассуждениях, приведенных выше, явно использовалась фиг. 12.8, на
которой пространство 5 двумерно, а критическая поверхность одномерна.
Общее определение я-кратно нестабильных неподвижных точек для
произвольного числа я в бесконечномерном пространстве 5 будет дано ниже.
В настоящем случае имеются две особые ренормирован-ные траектории GA и
Gc, выходящие из неподвижных точек
Фиг. 12.8. Топология ренормализационной группы в области, которая иа
.критической поверхности имеет три неподвижные точки: Рв
и Рс оо"
Точки Яд оо а Яд од являются однократно нестабильными; точка Яд является
двукратно нестабильной.
РА оо и Рс оо. которые аналогичны особой траектории G на фиг. 12.6 или,
согласно классической аналогии, дну лощины G. В дополнение к этому
имеется бесконечное множество ренор-мированных траекторий, выходящих из
точки Рв<=°- Точка РВоо соответствует по классической аналогии вершине
холма, в то время как РА х и Рссоответствуют седловым точкам.
Соответствующая карта изображена на фиг. 12.9. Кривые GB и G'b и на фиг.
12.8, и на фиг. 12.9 являются примерами траекторий, ВЫХОДЯЩИХ ИЗ ТОЧКИ
Рвоо<
Когда имеет место несколько неподвижных точек, возникает дополнительная
проблема. Допустим, у нас есть каноническая поверхность (кривая С на фиг.
12.8). Возникает вопрос: какая неподвижная точка с помощью
ренормализацион-
197
I
ГЛАВА 12
ной группы связана с канонической поверхностью? На фиг. 12.8 траектории,
соответствующие ренормализационной группе и выходящие из канонической
поверхности, приходят либо в точку Р0, либо в точку РАоо. Последнее имеет
место в том случае, когда точка, отвечающая взаимодействию, находится на
критической поверхности. Итак, критическое поведение определяется не
