Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
О)
(2)
0 ^ ср 2тг, 0<^0<^тг, —2тг ф 2тг.
(3)
(
t (у + Ф)
о
cos y е
I sin
0
е
i (? - Ф) \ 2 \
2
и =
j (ф - у) О 9
I SinyC 2
<№ + Ф) •
(4)
0
108
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1 ГЛ. Ill
Из соотношений (1) и (4) непосредственно следует, что
cos 0 = 2 | а Р — 1,
pi<?_________
с — I „ I I я I >
MIPI
(5)
(50
(5")
В дальнейшем важную роль будет играть следующее разложение унитарных матриц, непосредственно вытекающее из равенства (4):
подгруппу в группе SU (2). Таким образом, каждая матрица и из SU(2) лежит в двустороннем классе смежности по этой подгруппе, содержащем матрицу вида
Заметим, что матрицы вида (7) также образуют однопараметрическую подгруппу в SU(2).
2. Углы Эйлера произведения двух матриц. Пусть и = илщ —
произведение двух матриц щ и и2 из SU(2). Обозначим углы Эйлера матрицы и через ср, 0, ф, матрицы гг4 через ср1; 01; ф1; и матрицы гг2 через ср2, 0S, Ф2. Выразим углы Эйлера матрицы и через углы Эйлера
сомножителей.
Рассмотрим сначала случай, когда = ф2 = 0. В этом случае
имеем
Диагональные матрицы ( ' образуют однопараметрическую
\0 е 2
/ 6 • • в\
( cos г sin-~ \
I I I
\ . . О О
\ г sin-л- cos
(?)
и
(1)
‘) Заметим, что и (ф, 0, 0) = и(0, 0, 40.
§11 ГРУППА SU (2) 109
Перемножив матрицы в правой части равенства и применив формулы (5) и (5') п. 1, получим
cos 0 = cos 0i cos 02 — sin 0j sin 02 cos cpa, (2)
ilp sin 0t cos02-|-cos 0X sin 02 cos cps-|-t sin 0„ sin cp2 /r),^
f — ilHl = ’
io.i ?ф.*
0, 0» -if- . 01 . 03 —y-
iOf + Ф) cos -i- cos e z - sin -y sin e 2
e 2 - =---------i-------^------------------i-------. (2”)
Из равенств (2’) и (2’') после несложных преобразований, вытекает, что
tg® =______________Sin°^ Sin^___________________ (3')
ьт cos Oj sin 02 cos cf2 -j- sin 0X cos 02 ’ 4 ’
tgJ, =_____________sin0lSin<p,__________________ (3”)
sin O^os 02cos cf2-)-cos sin 02 ’ ’
Однако равенства (3') и (3") не определяют. однозначно а и ф в области
О й? <р < 2х, — 2л ф <С 2х.
Итак, поставленная задача решена в частном случае, когда cpt =
= ф1 = ф2 = 0. Переход к общему случаю не составляет труда. В самом деле, в силу равенства (6) из п. 1 имеем
н ('f 1, 91; р2, 04, фг) =
= и (ср1; 0, 0) гг (0, 01; 0) гг (0, 0, ф,) гг (ср,, 0, 0) и (0, 02, 0) и (0, 0, ф2). (4)
Но очевидно, что
гг (0, 0, 6j)»(cp.,, О, 0) = гг (ср9 ф1; 0, 0). (5)
Кроме того, при умножении матрицы /г (ср, 0, ф) слева на матрицу гг (ср1; 0, 0) угол Эйлера ср увеличивается на ср1; а остальные углы
Эйлера остаются неизменными. Аналогично, при умножении матрицы гг (ср, 0, ф) на гг (0, 0, ф2) справа увеличивается на ф2 угол Эйлера ф.
Отсюда вытекает, что в общем случае формулы для углов Эйлера
имеют тот же вид, что и формулы (2)—(2") с той лишь разницей,
что угол ср2 надо заменить на ср2 -)- ф1; а углы ср и ф на ср — cpt и ф—ф2. Предоставляем читателю выписать окончательные формулы.
3. Алгебра Ли. Поскольку каждый элемент группы SU(2) задается тремя параметрами ср, 0, ф, эта группа является трехмерным многообразием в линейном пространстве всех матриц второго по-
Р\
рядка . . Построим касательное пространство к SU{2) в точке \Т ь)
/1 О1
<?=^ Для этого проведем через точку е три кривые и найдем касательные векторы к этим кривым. Если кривые выбраны так, что
110
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
касательные векторы к ним линейно независимы, то эти касательные векторы и дадут базис касательного пространства к SU(2) в точке е.
