Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
6. Углы Эйлера вращений. Из установленного выше локального изоморфизма групп SU(2) и 50(3) вытекает, что вращения трехмерного евклидова пространства можно задавать тремя углами Эйлера Ь 0, ф. При этом, в отличие от группы SU(2), угол Эйлера ф
114
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
меняется в пределах от 0 до 2тт (а не от — 2тг до 2тг). Это связано с тем, что матрицам гг и — гг соответствует одно и то же вращение трехмерного пространства.
Выясним геометрический смысл углов Эйлера для вращений трехмерного пространства. Легко проверить, что матрицам вида
! t j • t \
/ cos у i sin ^
. * t) 0)
VlslnT C0SW
соответствуют вращения трехмерного евклидова пространства на угол t вокруг оси Ох к матрицам
; t . t n
/cos-у — sin-у\
«о, (0 = 1 , tj (2)
\s,nT cosTy
— вращения на угол t вокруг оси Охц и, наконец, матрицам
а о \
<*>з(*) = _и_) (3)
\о е 2 '
— вращения на угол t вокруг оси Ох3.
Но в п. 1 было показано, что матрица и из SU (2), соответствующая углам Эйлера ср, 0, ф, имеет вид
«(?> 9. Ф) = «(СР. 0. 0) г/ (0, 6, 0)гг(<|», 0, 0),
где и (ср, 0, 0) и гг(ф, 0, 0) — матрицы вида (3), и гг (0, 0, 0) — мат-
рица вида (1). Отсюда вытекает, что вращение g трехмерного евклидова пространства ?3, задаваемое углами Эйлера ср, 0, является произведением вращения на угол ф вокруг оси Ох3, вращения
на угол 0 вокруг оси Oxlt и второго вращения на угол ср вокруг
оси Оха. Отсюда вытекает, что матрица вращения ^(ср, 0, ф) имеет вид
g(?> 0. Ю = ?(<Р. °> °)?(°> 6> 0)?(ф, 0, 0) =
/cos ср — sin ср 0\ / 1 0 0 \ / cos ф — sin ф
— * sin ср cos ср 0 I 0 cos б —sin О I sin ф cos ф 0
\ 0 О I' \ 0 sin б cos 0/ V 0 0 0-
/ cos cos ф — sin <р sin Ф cos 0 — cos <p sin ф — sin <p cos Ф cos 0 sin cp sin
= ( sin <p cos ф -j- cos <p sin ф cos Q — sin <p sin ф H- cos <P cos Ф cos ® — cos ? 1
\ sin ф sin 0 cos ф sin 9 cos I
Остановимся еще на геометрической интерпретации касательных матриц для однопараметрических подгрупп группы SO (3). Геометри-
ГРУППА SU (2)
115
чески очевидно, что любая однопараметрическая подгруппа g(t) группы 50(3) является подгруппой вращений вокруг фиксированной оси
1 в Е3, причем t пропорционально углу поворота. Поэтому естественно задавать однопараметрическую подгруппу g(t) вектором х = = JVjej -)- хае2 -)- х3е3, направленным по оси вращения, длина которого равна угловой скорости вращения. При таком соответствии однопараметрическим подгруппам u>L(t), ш.2(0, <«з(0 (см- п- 3) соответствуют орты в[, е.3, е3 координатных осей.
Нетрудно показать, что если однопараметрической подгруппе g(t) соответствует вектор х = -)-дг2е4-)-дг3е3, то касательная матрица
а этой подгруппы имеет вид а = -)- лг.2аа -)- х3а3, где аь аъ а3 —
касательные матрицы подгрупп u)j(^), w,2 (t), m3(t). Мы опускаем это доказательство.
Пользуясь геометрической интерпретацией касательных матриц однопараметрических подгрупп, легко выразить касательную матрицу подгруппы g (t) = gug(0 g0 1 через касательную матрицу подгруппы g(t). Для этого заметим, что если вращения g(t) оставляют неподвижной ось 1, то вращения gog(t)go' оставляют неподвижной ось (получающуюся из 1 вращением go). В самом деле, из ^(01=1 следует:
Скорости же вращений g(t) и gog(t)g^1 одинаковы.
Отсюда получаем следующий вывод: если однопараметрическая подгруппа g(t) имеет касательную матрицу
• y=gbx, х = (хь хъ х3), у = (vi, yt, у3).
7. Сфера как однородное пространство. Группа 50(3) вращений трехмерного евклидова пространства является транзитивной группой преобразований единичной сферы 52 в этом пространстве. При этом стационарной подгруппой некоторой точки сферы является подгруппа вращений вокруг оси, проходящей через эту точку. Стационарной подгруппой точки М(О, 0, 1) является подгруппа вращений вокруг оси Oz. Мы видели в предыдущем пункте, что этим вращениям соответствуют диагональные матрицы из группы 5?/(2), т. е. матрицы вида
