Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
со 2я I
$ |/7(X)|*dX=l J $ |^(Х)|*ЛЛ. (4)
— со 0 0
В самом деле, по формуле (2) п. 3 функции /^(Х-)-^) суть коэффициенты Фурье для Ft(k) (как функции от t) и, следовательно, в силу равенства Парсеваля,
2п со
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
97
Проинтегрируем это равенство по X от 0 до 1. Мы получим
1 2п оо 1
0 0 ft = — со б
со п -{- 1 со
= 2 I \FmdX= \ )F(k)\*dk.
П — СС П — СО
Тем самым равенство (4) доказано.
Из равенств (3) и (4) вытекает, что
со со
j \F(x)\'dx=±- j \f(y)fdy, (5)
— СО — со
т. е. наше утверждение доказано.
5. Преобразование функций с интегрируемым квадратом. Мы
можем теперь определить преобразование Фурье для функций F(X) с интегрируемым квадратом модуля. Для этого заметим сначала, что функции пространства @ всюду плотны в пространстве Jrj функций с интегрируемым квадратом. В самом деле, пусть »(Х)— бесконечно дифференцируемая неотрицательная финитная функция, такая, что
СО
<р(0)=1 и ^ cp(X)dX=l. Положим
— СО
СС
F„ W =щ (¦~) ^ F -- "О ? (пт) dx- (!)
— со
Нетрудно показать, что все функции Fn(k) бесконечно дифференцируемы, финитны, и что последовательность функций Fn (X) сходится в среднем к функции F (X).
Итак, мы доказали, что функции пространства © всюду плотны
в ,?). Но преобразование Фурье является изометрическим ^с точ-
ностью до множителя отображением пространства S на себя.
Отсюда следует, что это преобразование можно продолжить по непрерывности на все пространство Jq.
Таким образом, каждой функции F (к) из пространства соответствует функция f (х) из того же пространства — преобразование Фурье функции F (X). Эту функцию можно найти следующим образом: пусть Fn (X) — последовательность функций из пространства схо-
дящаяся в среднем к функции F (к),
F(k)=\.i.m.Fn(V1).
п —> 00
:) 1. i. ш. — предел в среднем.
98 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ]ГЛ. 11
Обозначим через fn(x) преобразование Фурье функции Fn(k). Тогда последовательность функций fn(x) сходится в среднем. Ее пределом и является f(x).
Нетрудно доказать, что
П
f(x) = 1.1. m. $ F(k)eilxd\ (2)
F(X) — 1. i. m. \ f(x)e iK4x. (3)
— П
Кроме того, для любой функции F(к) из ф имеет место равенство Планшереля,
СО ОО
^ \F(\)\U\=-L J \f(x)\*dx, (4)
— СО — СО
где оба интеграла понимаются в смысле сходимости в среднем.
6. Интеграл Фурье для функций нескольких переменных. Рассмотрим re-мерное линейное пространство Rn. Это пространство является прямой суммой п экземпляров группы R. Его неприводимые представления — это кронекеровские произведения неприводимых представлений еХх группы R. Иными словами, любое неприводимое представление группы Rn задается п комплексными числами % = (к1, ... , Х„) и имеет вид
Тк (x) — eXlXl ... х>, (1)
где
(к, х) = Х1л-1-]- ... -}- ХлА'„. (2)
Если все числа Xfr чисто мнимые, то представление Т^ унитарно.
Регулярное представление группы Rn разлагается на неприводимые точно так же, как в одномерном случае. Это разложение связано с интегралом Фурье для функций от ге переменных.
Если F(k) — функция из пространства @ (т. е. бесконечно дифференцируемая функция на Rn, производные любого порядка которой быстро
убывают), то интеграл
/(*) = $ F(l)ei{t" *'(3)
(Х1; ... , Х„ — вещественны) сходится для всех х. Функция /(х) называется преобразованием Фурье для F (%) и также' принадлежит пространству @. Формула обращения для преобразования (3) имеет вид
Р^)=Щ* §f(*)e~i(Kx)dx. (4)
При этом выполняется равенство Планшереля:
