Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
4 41 \ 2 2 >
;ё -(- е~* ё—е~( \
й(0 = »л«)»=!«,^ «, + „-,)¦ (3)
ч 2 2 )
Введем обозначения
ё + е~1 ,, е( — е~1 ...
—2—= ch t, —^—= sh ^ (4)
и назовем ch t гиперболическим косинусом t, a sh t — гиперболическим синусом t. Формула (3) имеет вид
/ch t shA
*«> = U* (5)
Из равенства (3) видно, что h (t) является двумерным представле-
нием группы 67/(2), эквивалентным g(t). Поэтому
h(t1)h(t,) = h(t1-{-ti). (6)
86
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. II
Подставим в равенство (6) вместо h (^), h(t2) и h(tir\-t^) их выражения (5), перемножим матрицы в левой части равенства (6) и сравним соответствующие матричные элементы слева и справа. Мы получим формулы сложения для гиперболических функций
Впрочем, эти формулы можно получить и из формул сложения для тригонометрических функций, если заметить, что в силу формул Эйлера имеем
4. Комплексная форма группы SO (2). Различие между группами SO (2) и SH (2) состоит лишь в том, что первая из них состоит из преобразований, сохраняющих форму х2-\-у2, а вторая — форму х2—Ясно, что при переходе от вещественного линейного пространства к комплексному это различие стирается. Говорят, что группы SO (2) и SH (2) являются двумя вещественными формами одной и той же комплексной группы.
Эта комплексная группа SO (2, С) состоит из матриц вида
где z пробегает комплексную плоскость. Иными словами, она получается из группы SO (2) заменой вещественного параметра <р комплексным числом г.
Группа SO (2) является подгруппой группы SO (2, С), соответствующей вещественным значениям г. Поэтому ее и называют вещественной формой группы SO (2, С), а группу SO (2, С) — комплексной формой группы SO (2) или, иначе, комплексификацией группы SO (2).
Группа SH (2) является другой вещественной формой группы SO (2, С). Она получается при чисто мнимых значениях z (т. е. при вещественных значениях параметра w = iz). Именно, если z = ti, то
Заменим каждую матрицу (2) матрицей а_1§'(^')а, где а= . При этом
т. е. матрицы из группы SH (2).
Остановимся на связи между представлениями групп SO (2) и SO (2, С). Неприводимые унитарные представления группы SO (2) имеют, как мы видели выше, вид einf. Но е1пч—аналитические функции от <р, и потому их можно рассматривать и_ при комплексных значениях <р. Таким образом, получаем представления einz группы SO (2,С), являющиеся «аналитическими цродол-жениями» представлений еш? с подгруппы SO (2) на всю группу SO (2, С). Поскольку эти представления одномерны, они неприводимы. Однако они не являются унитарными, так как, вообще говоря, \einz\rfc\.
ch (/j -)-t%) = ch ti ch -)- sh ^ sh sh -j- tt) = sh ch t3 -j- ch tt sh tfs.
ch t = cos it,
sh t = 4- sin it.
(1)
(2)
получатся матрицы вида
(3)
РЯДЫ ФУРЬЕ
87
§ 2. Ряды Фурье
1. Инвариантное интегрирование на группе SO(2). Мы будем изучать функции на группе 50(2). Каждый элемент g этой группы задается вещественным числом ср (углом поворота), определенным с точностью до кратного 2тс. Поэтому функции на группе 50(2) можно отождествить с функциями на вещественной оси, имеющими период 2тс (или, что то же, с функциями на окружности).
Определим интегрирование на группе 50(2) формулой
2т:
^ /(g) dg= ~ § /(ср) tfcp. (1)
О
Множитель ~ поставлен здесь для того, чтобы мера всей группы
50(2) была нормирована, т. е. равнялась единице. Интеграл (^обладает следующим свойством инвариантности-.
\f(ggn) dg=\f(g)dg.
В самом деле, элемент gg0 группы 50(2) задается числом ср —J— ср0. Поэтому
2ж <р0 + 2г.
\ f(ggn) dg= J /О? + <Ро) d?=^ 5 /(?)<*Р-
О ?о
В силу периодичности /(ср) отсюда вытекает, что
2я
( f(ggn) dg— ~ \ / (?) =\f (g) dg.
