Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
неэлементарных функций.
Найдем теперь неприводимые унитарные представления группы 50(2). Для этого заметим, что в силу равенства (5) отображение ср—>g'(cp) является гомоморфным отображением аддитивной группы R вещественных чисел на группу 50(2). Ядро этого отображения состоит из чисел вида ср = 2itk, где k — целое число; этим и только этим числам соответствуют тождественные вращения плоскости. Таким образом, группа 50(2) является фактор-группой группы R по подгруппе чисел вида 2кк:
SO(2) = R/Z,n.
Это замечание позволяет свести разыскание неприводимых унитарных представлений группы 50(2) к той же задаче для группы R. Именно, если /(ср) — неприводимое унитарное представление группы 50(2), то равенство
F (ср - j- 2ttk) = / (ср), 0 sg: ср 2тс (8)
определяет неприводимое унитарное представление группы R. При этом, однако, получаются не любые представления группы R, а лишь такие, что /7(2тс)=/(0) = 1.
Таким образом, в силу результатов п. 1 все неприводимые унитарные представления группы 50(2) должны иметь вид /(ср) = eai<t. Нам осталось выяснить, при каких значениях а будет выполняться
84 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСНЛ [ГЛ. II
условие
/ (2тс) = е*ап = 1.
В силу формул Эйлера имеем
еъаы _ cos 2ак -)-1 sin 2атс.
Поэтому должны выполняться равенства
cos 2шг= 1, sin 2ait = 0.
Отсюда следует, что а — целое число.
Итак, мы доказали, что неприводимые унитарные представления группы 50(2) имеют вид ein,f, где п — целое число.
Заметим, что группа 50(2) компактна, и потому в силу п. 2 § 4 главы I любое ее конечномерное представление унитарно. Поэтому доказанное выше утверждение можно сформулировать следующим образом:
Любое конечномерное неприводимое представление группы SO (2) унитарно, одномерно и имеет вид
/(ср) = *,л* (9)
где п — целое число.
Выше мы рассмотрели двумерное представление
/ cos cf — sin «р
g(?)={ .
\sm f cos f
группы SO (2). Чтобы разложить его на неприводимые, заменим представление g (<f) эквивалентным представлением а'_1^(<р)а, где а= —
г 2 \ i I/
Простой подсчет показывает, что
/cos ф 4-1 sin ф 0 \
а 1 g (у) а = 1 ¦ ¦ )• (10)
\ 0 coscf—ismcf/
Применяя формулу Эйлера, можно равенство (10) записать в следующем виде:
/е‘? О \
a^(!f)a = (oH,j- (11)
Итак, представление g (f) является прямой суммой одномерных представлений elf и e~i'f.
3. Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические функции. Гиперболическим вращением плоскости называют однородное линейное преобразование плоскости, оставляющее инвариантной форму хг —_у2 и переводящее в себя квадранты — л; s^y л; и —_у «с: л; гс;_у. Совокупность всех гиперболических вращений образует группу, которую будем обозначать 67/(2).
§ F) ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 85
При повороте осей координат на — те/4 форма л;2 —у% переходит в — 2ху, и мы получаем линейные преобразования, сохраняющие форму ху и переводящие в себя квадранты х^>0, у^>0 и л:^>0, у<^0. Ясно, что такие преобразования имеют вид
(1)
у' = ау, J
гда а^>0.
Положим а = е‘. При изменении а от 0 до оо параметр t изменяется от — со до оо. Матрица преобразования
х' = е~1х,
У = «'У
имеет вид
'«По 4 (2)
Так как
g (tx -j- tt) = g (^) g (t^),
то группа SH(2) изоморфна аддитивной группе вещественных чисел /?.
В исходной системе координат гиперболический поворот задается матрицей вида h(t) = s~1 g(t)s, где
sin - COS
Мы имеем
* . Я\ (V2 у 2-,
4' -smT\=/-2---------т\
cos 11 \VJ VI)'
