Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
СО
eUkFt(X)= 2 (8)
п = — со
причем этот ряд равномерно и абсолютно сходится к eitkFt(k). Отсюда следует, что
СО
Ft(X)= 2 an(t)e~iX{t^n). (9)
п —— со
Коэффициенты an(t) ряда (9) вычисляются по формулам Фурье
I
= (10)
о
Покажем, что ап (t) = f(t -j- 2тш), где f{x)— преобразование Фурье функции F (X). Для этого подставим в равенство (10) вместо
Ft (X) ряд (2) и изменим порядок интегрирования и суммирования
(что возможно в силу быстрого убывания функции F (X)). Получим
СО I
an(t)= 2 J Z7 (X -f- да) вг (A+m) ('+a*")rfX (11)
тп = — со 0
(ради симметрии под знак интеграла введен множитель et1zinm, равный 1). Если в равенстве (11) положить Х-)-от = [а, то оно примет
§ 3] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 95
вид
оо от + 1
«»(*)= S S
m=—оо т
со
= $ /7(р.)е,'|1(^а,'л'ф=/^ + 211л). (12)
— СО
Мы можем теперь доказать формулу обращения для преобразования Фурье, т. е. получить выражение функции F (к) через ее преобразование ,Фурье f(x). Подставим выражение (9) для условно периодических функций в интеграл (6). Учитывая формулу (12), получим
2я оо
F(X) = iU 2 an(t)e-l^^\dt =
О п = — со
2 п оо
/(*+2™кД('+2ял)]<#=
О п~ — оо со 2 я
2 \f(t-\-2'Kn)e~a{w*n)dt= п——со О
оо 2я(л+1) оо
= i 2 S f(x)e-ix*dx = ±K J f(x)e~iX*dx
п => — oo 2ял —со
(возможность изменения порядка интегрирования и суммирования
00
вытекает из абсолютной сходимости интеграла J f (x)dx). Тем самым
— СО
вывод формулы обращения для преобразования Фурье окончен. Отметим, что формула обращения
СО
f(i)=i J /(х)Л (13)
— 00
лишь несущественно отличается от формулы самого преобразования Фурье:
00
f(x)= $ F(k)eaxdl. (14)
г—00
Отсюда сразу вытекает, что образом пространства @ при отображении F(X)—~f(x) является все пространство Именно, если f (х) — функция из пространства @, она является преобразованием
Фурье функции 2itcp (— X), где ср (к) — преобразование Фурье функ-
ции /(х).
96 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ]ГЛ. II
4. Формула Планшереля. Докажем, что преобразование Фурье является (с точностью до постоянного множителя 2тс) изометрическим отображением пространства @ на себя относительно нормы
ОО
\\Р\\*= $ |F(X)|aa.
— со
Иными словами, покажем, что если f(x) -- преобразование Фурье функции F(k), то
СО СО
$ = ^ \ \f(x)\4x. (1)
— со —со
Для этого заметим, что в силу равенства Парсеваля имеет место соотношение
I СО
$|/^(Х)|Ш= 2 IM0I*. (2)
О « = — со
Проинтегрируем эго равенство по t от 0 до 2тс (что возможно, так как сходящиеся к непрерывной функции ряды, состоящие из положительных функций, равномерно сходятся). Мы получим
2п I со 2п со 2п
$ $ | Ft (t) \ЧХ dt= 2 I I (<) № = Ц ^ I ¦№ -I" I' dt =
0 0 л - оо 0 п — со О
со 2it(n-\-\) со
= 2 $ \f(x)\4x= ^ \f{x)\*dx. (3)
п — — со 2 кп —со
Нам осталось показать, что интеграл в левой части этого равенства
СО
совпадает (с точностью до множителя 2тс) с § | /^(Х) |2 т. е. что
— СО
для разложения (6) из п. 3 справедлива «формула Планшереля»:
