Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 50

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 241 >> Следующая


jj Ф (г) (— z)w~l dz, (10)

Г

где (—z)w 1 определено как e<w~~ 11 In (— причем In (-—г) принимает вещественные значения на отрицательной вещественной полуоси, а Г — контур, идущий из бесконечности параллельно положительной вещественной оси, обходящий точку 2=0 в положительном направлении и затем снова возвращающийся в бесконечность параллельно положительной вещественной полуоси. Будем стягивать Г к вещественной оси. Часть контура Г, лежащая над вещественной осью, даст

ОО 00

$ Ф (0 - ’)(1п' - Ы) dt = е~iw* $ Ф (t) tw ~ 1 dt,

— 00 и

а часть, лежащая под вещественной осыо, даст

00 00

\ Ф (0 e{w - (1п ‘ + Ы} dt = — eiw* Jj Ф (t) twdt.

о о

Ф (2) (—z)w~ldz = — 2i sin wtzS (w). (11)

Поэтому

Полагая

яХ (w) = Щ (w) sin kw, мы получаем двойственные формулы:

X (да) = — ^ Ф (г) (— z)w~' dz, (12)

Г

с i оо

Ф(г) L f m^-dw. da)

21 ,} sm kw '

c — i oo
ГЛАВА 111

ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

В этой г лапе будут рассмотрены представления группы SU (2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка, тесно связанной с группой вращений трехмерного евклидова пространства. Мы увидим, что при соответствующем выборе базиса в пространстве представления матричные элементы представлений этой группы выражаются через многочлены Якоби. При этом зональные сферические функции (см. п. 5 § 2 главы I) выражаются через многочлены Лежандра, а присоединенные сферические функции — через присоединенные многочлены Лежандра. Исходя из связи между матричными элементами представлений группы SU(2) и ортогональными многочленами Якоби и Лежандра, будет выведен ряд свойств этих многочленов.

§ 1. Группа SU(2)

1. Параметризация. Обозначим через SU (2) множество унитарных унимодулярных матриц второго порядка. Иными словами, SU (2)

/а р\

состоит из таких матриц и = ! , что и* = и 1 и Detz*=l (через

\Т 8/

и* обозначена матрица, эрмитово сопряженная с матрицей и). Если it1^SU(2) и 2), то

(и1иг)* = 1'Ь11 = lhЧ1 =

и

Det (г?!Иа)= 1.

Поэтому u1ui^SU(2). Легко показать, что и щ1 SU (2). Отсюда следует, что множество матриц SU (2) является группой.

/а р\

Пусть матрица и = 1 1 принадлежит группе SU (2). Поскольку

ГЛ т\ _ ( 8 — Р\

гг* = ^_ и и 1 = ^ а/’Т° Равенств0 и* ~11 1 равносильно
§ 11

ГРУППА SU(2)

107

соотношениям 8 = а и у = — р. Таким образом, любая матрица и из SU (2) имеет вид

Так как Det??=l, то | а |2-j-| р |3 = 1. Обратно, если и — матрица вида (1), причем | а |г | р |4= 1, то и принадлежит группе SU (2).

Итак, каждый элемент, и группы SU (2) однозначно определяется парой комплексных чисел (а, р), таких, что | а |а -|- | р |г = 1 .

Если положить а = а, -|- t'a,, р = |В, -|- t'p2, то из равенства | а |2 -|- | [i j2 = 1 следует I а1 Р + i a2 Р + I Pi I2 + I Рг I2 — 1- Отсюда получаем, что группа SU(2), как топологическое пространство, гомеоморфна сфере в четырехмерном вещественном пространстве.

Комплексные числа (а, р), такие, что | а |г-|-| р |3 = 1, задаются тремя параметрами. В качестве этих параметров можно взять, например, | а |, arga и arg р. Если ар ф 0, то вместо этих параметров удобнее взять другие, называемые углами Эйлера. Параметры ср, 0, 6 связаны с | а |, arg а, arg р следующими соотношениями:

Значения параметров ср, 0, ф не определены однозначно равенствами (2). Мы потребуем дополнительно, чтобы эти параметры принадлежали области

Легко проверить, что каждым двум комплексным числам (а, р), таким, что ар ф 0, | а I®1 р |2 = 1, соответствует одна и только одна точка (©, б, ф) этой области, для которой выполняются равенства (2).

Углы Эйлера <р, 0, ф аналогичны географическим координатам на сфере трехмерного евклидова пространства. Подобно тому как на этой сфере географические координаты неоднозначно определены в северном и южном полюсах, параметры ср, 0, ф неоднозначно определены, если а = 0 или Р = 0. Однако множество матриц, для которых введенная параметризация неоднозначна, имеет меньшую размерность, чем вся группа SU(2).

0

Из формул (2) вытекает, что |p| = siny, и что матрица и = = к (ср, 0, ф) с заданными углами Эйлера имеет следующий вид:
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed