Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть F(X)— измеримая функция, имеющая суммируемый квадрат на каждом конечном отрезке, и такая, что
Fa\— / со,
I О (е*х), X -* — сю. (
Тогда интеграл
00
/(г)= $ F(k)eiudk (2)
— СО
абсолютно и равномерно сходится в каждой полосе а-{-г<.у<Ь — е> г = .V + (У, е > 0.
Функция /(г) аналитически зависит от г в полосе —а<у<Ь, причем в каждой полосе — а t <: у <Ь — е интеграл
00
\ \f(x + b’)\'2f!x (3)
— оо
ограничен.
Абсолютная и равномерная сходимость интеграла (2) и, следовательно, аналитичность функции /(г) непосредственно вытекают из оценок (1). Чтобы доказать ограниченность интеграла (3) в полосе —a-\-z<^y<b— е, применим формулу Планшереля к функции /?(Х)е“х>'. Преобразование Фурье f(x, у) этой функции имеет вид
СО 00
f(x,y)= $ F(k)e~\''eaxdk = § F(k) еа <x+b'-> dl=f(x + iy).
— 00 — 00
Поэтому при —a + имеем в силу оценок (1)
00 со
\ I f(x + iy) I -dx= \ | / (x, у) | sdx =
—00 — CO
оо оо 0
= 2n $ I F(k) e-h' I 2 d\ C, i[ e ^dX + C, $ e‘isld\<C.
— oo 0 — oo
Теорема обращения в рассматриваемом случае формулируется следующим образом:
Теорема 2. Пусть функция /(г) аналитична в полосе —asCy^b и на ее границе, где а > 0, ?>0, и пусть
00
^ !/(•* + O’) < С, — as?_ys?6. (4)
102 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ [ГЛ. II
Тогда функция /(«) ограничена в каждой внутренней полосе —
¦^y^b — z и существует такая функция FQ-), что
со со
I F{>,) eal\s (Л < + оо, $ |/i’(X)e-ftx|2rfX< + oo.
— со — со
При этом на отрезке —as^ys^b имеем
СО
/ (л‘ + ly) = Jj F (X) еа '*+г>п ОК, (5)
— СО
где интеграл понимается в смысле сходимости в среднем. Функция F(K) выражается через /(г) по формуле
СО
F(X) = i J/We'^A-, (6)
— СО
где интеграл также понимается в смысле сходимости в среднем.
Доказательство этой теоремы лишь немногим сложнее доказательства теоремы 1.
Исследуем теперь преобразования Фурье функций, заданных на полупрямой 0 X < со. Из равенства
СО ОО
\ \f(x + iy)\a-dx=2* \ \F(l)e~h'\*dl (7)
— ОО --00
вытекает, что функция f(X-\-iy) аналитична в верхней полуплоскости и имеет интегрируемый квадрат модуля для всех у^зО тогда и только тогда, когда для всех у ^5 0 сходится интеграл
00
5 | F (X) e-\v 12 dX.
— 00
00
При этом интеграл ^ \ f (х-\-iy) \2 dx ограничен по у тогда и только тогда,
— оо
когда интеграл
00
\ \F(l)e^\sd\ (8)
— со
ограничен на полупрямой 0^_у< + оэ-
Но интеграл (7) ограничен на полупрямой 0 s^_y <С со тогда и только
00
тогда, когда F(k) = 0 при ХсО \ F(k) |2 d\ < -|- оо, В самом деле, если
о
эти условия выполнены, то
00 00
$ | F(k) е~*У I2 dk ^ $ I F{\) I 2 dk.
— со О
С другой стороны, если F (X) не равно нулю на множестве положительной меры, лежащем ра полупрямой —оо<сХ<0, то найдется отрезок
§ 41 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 103
[—а, —Ь], Ь> 0, такой, что
— ь
[ |/7(Х)|*Л = />0.
— а
В этом случае
