Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы начнем изучение связи между теорией представлений и специальными функциями с разбора двух модельных примеров: аддитивной группы вещественных чисел R и группы SO(2) вращений плоскости. Представления первой из них связаны с показательной функцией, а второй — с тригонометрическими функциями.
§ 1. Показательная и тригонометрические функции
1. Неприводимые унитарные представления группы /?. Обозначим через R группу, элементами которой являются вещественные числа, а групповой операцией — сложение чисел. Найдем неприводимые унитарные представления этой группы. При этом, разумеется, мы ограничиваемся непрерывными представлениями.
В п. 3 § 3 главы I было показано, что все неприводимые унитарные представления коммутативной группы одномерны. Поэтому надо найти непрерывные функции вещественного переменного, удовлетворяющие функциональному уравнению
f{x)f(y)=f(X-\-y) (1)
и условию унитарности
1/4*) 1 = 1. (2)
Хорошо известно, что все непрерывные решения уравнения (1) имеют вид
f(x) = eax.
Приведем для полноты доказательство этого утверждения. Сначала покажем, что любое непрерывное решение функционального уравнения (1) дифференцируемо. Для этого возьмем такую бесконечно дифференцируе-
ОО
мую финитную функцию tp (at), что ^ /(х) tp (х) dx ф 0 (такая функция
— ОО
существует, если /(х)фО). Умножим обе части равенства (1) на tp (_у) и
82
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. II
проинтегрируем по у от — со до со:
оо
оо
со
/(¦*) $ f(y)’?(y)dy— $ f (х + У) Ч (У) аУ = $ f W Ч (у —х) dy
— со
— со
— со
(интеграл сходится в силу финитности tp (у)). В силу бесконечной дифференцируемости функции ср (лг) правая часть этого равенства бесконечно дифференцируема по х. Следовательно, бесконечно дифференцируема и левая часть этого равенства, т. е. функция f{x).
Продифференцируем обе части равенства (1) по у и положим _у = 0. Получим дифференциальное уравнение
Далее, из равенства (1) имеем/(0)=1. Но решения уравнения (3), такие, что /(0)=1, имеют вид
где a=f'(0). Тем самым наше утверждение доказано.
Итак, все одномерные непрерывные представления группы R имеют вид f(x) — eax, где а — некоторое, вообще говоря, комплексное число. Найдем, при каких значениях а эти представления унитарны, т. е. когда \еах\=\. Продифференцируем равенство ёахеах=\ по л; и положим л; = 0. Мы получим a-j-S = 0, т. е. а — чисто мнимое число. Итак, представление еах группы R унитарно тогда и только тогда, когда а—чисто мнимое число, a = bi.
Заметим, что степенная функция
связана с представлениями группы /?+ положительных чисел, где групповой операцией является умножение чисел. Отображение t = ex устанавливает изоморфизм между группами R и /?+. При этом отображении представлениям еах группы Я соответствуют представления ta группы Д+. При чисто мнимом а эти представления унитарны.
2. Группа вращений плоскости и тригонометрические функции.
Перейдем к рассмотрению неприводимых унитарных представлений группы 50(2) вращений евклидовой плоскости вокруг начала координат, т. е. группы однородных линейных преобразований двух переменных, сохраняющих квадратичную форму л;2-)-_у2 и имеющих положительный определитель.
Хорошо известно, что вращение плоскости задается вещественным числом ср — углом поворота, причем матрица соответствующего линейного преобразования имеет вид
f(0)f(x)=f(x).
(3)
f(x) = e*х,
y = ta, t > О
(4)
(1)
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
83
Функции sin ср и cos ср — тригонометрические функции, связанные с показательной функцией формулами Эйлера
е± ^ = cos ср dz i sin ср, (2)
eif e-if
cos cp =----------, (3)
...
smcp =------21----'• ^
При умножении вращений углы поворота складываются, и потому
g (?)g 010 = g Ор + Ю (5)
или, в матричной форме,
^cos ср —sin ср\ /cos ф —sin ф\ /cos (ср —ф) —sin (ср —J— ф)\
i^sin ср cos ср/ ysin ф cose))/ \sin (ср -j- ф) cos (да —J— ф)/'
Выполняя умножение матриц, и сравнивая матричные элементы слева и справа, получаем формулы сложения для тригонометрических функций;
cos (ср -)- ф) = cos ср cos ф — sin ср sin ф (6)
sin (ср -)- ф) = sin ср cos ф -j- cos ср sin ф (7)
Позже таким же путем будут выведены формулы сложения для
