Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
о
2. Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье. Мы
доказали выше, что функции
{*'"4 (!)
где 0 ср 2тс, и п пробегает все целые числа, образуют полную
систему попарно неэквивалентных унитарных представлений группы
50(2). Поэтому в силу результатов п. 3 § 4 главы I эти функции образуют полную ортогональную нормированную систему функций на
группе 50(2) ^относительно инвариантной нормированной меры ^ d<pj.
Иными словами,
2 я
±-^e,m^d'f = bmn> (2)
О
где —символ Кронекера.
88 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ [ГЛ. II
Кроме того, любая функция /(ср) с интегрируемым квадратом на группе 50(2) разлагается в сходящийся в среднем ряд
СО
/(?)= 2 спе^, (3)
п — — со
коэффициенты которого выражаются через /(ср) по формулам
2п
cn = ±^f(?)e~^d? (4)
о
(см. формулы (4) и (5) п. 3 § 4 главы I). Ряд (3) называют рядом Фурье функции /(ср), а числа сп — коэффициентами Фурье этой функции.
Обозначим через .?> пространство всех функций /(ср) на группе 50(2), имеющих интегрируемый квадрат.
Из полноты системы { е(псе} вытекает, что для каждой функции/(ср) из имеет место равенство Парсеваля
2 п со
iji/(?)!*<*?= У 1аг. (5)
О п — — со
Таким образом, пространство Sj является прямой суммой одномерных пространств lQn, состоящих из функций вида {апе1псе}.
3. Разложение регулярного представления группы 50(2). Рассмотрим теперь регулярное представление группы 50(2). Согласно п. 4 § 2 главы I, эго представление строится в пространстве функций /(ср), 0 eg ср i:C; 2it, с интегрируемым квадратом модуля, и задается формулой
Я (*(“))/(?) =/(? + “)¦ (!)
Как было показано выше, пространство ^ является прямой суммой одномерных пространств состоящих из функций вида { aneinv }.
Легко видеть, что эти пространства инвариантны относительно операторов R(g). В самом деле,
R (g(а)) е1п* = еы (?+а) = e‘'n V"?. (2)
Кроме того, из равенства (2) следует, что оператор R (g) индуцирует в каждом из пространств Sjn оператор еша унитарного неприводимого представления группы 50(2). Тем самым нами доказана
Теорема 1. Регулярное представление R(g) группы 50(2) является прямой суммой неприводимых унитарных представлений Tn(g) = ema- этой группы, причем каждое из этих представлений входит в разложение регулярного представления по
РЯДЫ ФУРЬЕ
89
одному разу:
СО
R(g)= S Tn(gy (3)
п = — со
4. Разложение бесконечно дифференцируемых функций. Во
многих случаях недостаточно знать, что ряд Фурье функции /(ср) сходится к ней в среднем, а надо иметь более сильные утверждения (например, об абсолютной и равномерной сходимости этого ряда). Такие утверждения справедливы, например, если функция /(ср) бесконечно дифференцируема. Мы называем функцию /(да) на группе SO (2) бесконечно дифференцируемой, если бесконечно дифференцируема соответствующая ей периодическая функция на вещественной оси. В частности, для таких функций при любом k должно выполняться равенство
/(*>(0)=/W(2*). (1)
Лемма 1. Если функция /(ср) на группе SO(2) бесконечно дифференцируема, то ее коэффициенты Фурье быстро убывают, т. е. для всех k выполняется соотношение
lim nkcn = 0. (2)
| Л I-*00
В самом деле, интегрируя k 1 раз по частям формулу
2-
Cn=^\f(9)e^d<it
О
получаем
cn=2^r^f{k+l)(9)^in^
О
(проинтегрированные • члены обращаются в пуль в силу того, что /(/) (0)=/(/) (2тс). Из бесконечной дифференцируемости функции /(ср) вытекает существование интеграла в правой части этого равенства. Поэтому
lim nkcn = 0.
|л|-»со
Из доказанной леммы следует
Теорема 1. Если функция /(ср) на группе SO(2) бесконечно дифференцируема, то ряд Фурье этой функции абсолютно и равномерно сходится к /(<р).
Для доказательства достаточно заметить, что для любого k имеем
cn = o[^j. Поэтому ряд Фурье функции /(ср) равномерно и абсолютно сходится. Так как он сходится в среднем к /(ср), то его сумма равна /(ср).
