Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
90
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. II
Существует много весьма тонких теорем о сходимости рядов Фурье. Нам, однако, понадобятся только теорема о сходимости в среднем и теорема о сходимости разложения бесконечно дифференцируемой функции.
Разумеется, если функция /(ср) бесконечно дифференцируема, то абсолютно и равномерно сходятся и ряды Фурье всех ее производных. При этом коэффициенты Фурье функции f(k) (ср) равны (iri)k сп> где сп — коэффициенты Фурье для /(ср).
Мы доказали, что коэффициенты Фурье бесконечно дифференцируемых функций быстро убывают. Справедливо и обратное утверждение.
Если коэффициенты Фурье сп функции /(ср) быстро убывают, то функция /(ср) бесконечно дифференцируема.
В самом деле, из быстрого убывания коэффициентов Фурье вытекает, что ряд
X {1п?спе^
п — — СО
абсолютно и равномерно сходится для всех k. Поэтому разложение
СО
Фурье /(ср) = ^ cnelnv можно почленно дифференцировать любое
п = — СО
число раз.
§ 3. Интеграл Фурье
1. Регулярное представление группы R. Вернемся к изучению представлений группы R — аддитивной группы вещественных чисел. В § 1 мы рассмотрели одномерные представления этой группы. Эти представления задавались комплексным параметром а и имели вид Ta(g)=Ta(x) = eax. При чисто мнимом а, .а=1\ представление Та(х) унитарно. Здесь будет рассмотрено регулярное представление группы R и дано разложение этого представления на неприводимые унитарные представления Та(х).
Напомним, что согласно п. 4 § 2 главы I регулярное представление группы R строится в пространстве ^ функций f(x), заданных
на группе R (т. е. на вещественной оси —со<^л;<^ со), и таких,
что
f |/С*0Р <*¦*<+ со. (1)
— ОО
Каждому элементу группы R, т. е. вещественному числу л;0, соответствует оператор R(x0), переводящий функцию f(x) в
R(x0)f (х) =f(x-\- лг0). (2)
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
91
Как говорилось в главе I, R (л;) является регулярным представлением группы R.
Из-за того, что группа R некомпактна, разложение представления R(x) на неприводимые сложнее, чем в случае группы SO (2). Именно, получим не разложение пространства ^ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, а лишь разложение ^ в непрерывную прямую сумму. Иными словами, мы покажем, что каждая функция f (х) из пространства ^ может быть представлена в виде «непрерывной линейной комбинации» функций ellx:
СО
f(x)= § F(X)elXxdX, —со<^л;<^оо. (3)
— СО
Сравнивая эту запись с разложением в ряд Фурье
СО
f(x)= 2 W1"*, 0 ^*<2* (4)
л = — СО
видим, что F (X) аналогично коэффициенту Фурье сп.
Из равенства (3) видно, что разложение функции R(x^)f(x) = =/ С*-j-•*<)) имеет вид
СО СО
R (xn)f(x)= $ F(\)e'(x+*<>)d\= ^ ei,x«F (к) eiXxdX. (5)
— СО —СО
Таким образом, при сдвиге f(x) — f(x -)- лг0) каждый «коэффициент Фурье» F (X) умножается на eilx°. Иными словами, при фиксированном X оператору R(x0) соответствует оператор умножения на еПх«, т. е. оператор неприводимого унитарного представления группы R. Таким образом, разложение (3) дает разложение регулярного представления в непрерывную прямую сумму неприводимых унитарннлх представлений
СО
R(x)= ^ Ta(x)dX. (6)
— СО
2. Преобразование Фурье и его свойства. В этом и следующих пунктах мы докажем возможность разложения функций f(x)
из пространства .?), задаваемого формулой (3) п. 1. Пусть F(X) — не-
прерывная абсолютно интегрируемая функция. Назовем ее преобразованием Фурье функцию
СО
f(x)= $ F(X)elXxdX. (1)
— СО
Интеграл (1) абсолютно сходится в силу абсолютной интегрируемости функции F (X)
92 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ [ГЛ. II
Вообще говоря, преобразованием Фурье непрерывной абсолютно интегрируемой функции может оказаться неинтегрируемая функция. Для того чтобы получить симметричную теорию, надо ограничить класс изучаемых функций.
Назовем функцию F (к) быстро убывающей при | X | —> оо, если для любого п выполняется условие
lim |X|nF(X) = 0. (2)
| Х|^со
Обозначим через @ пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на прямой, производные всех порядков которых быстро убывают при | X | —- оо. Примером функции из пространства @ является е~х2.
