Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Введя в пространстве скалярное произведение по формуле
(<Р, Ч>) =$?(¦*) + (¦*) (¦*)>
мы получим гильбертово пространство. Точнее говоря, элементами пространства являются не отдельные функции f (х), а классы функций, отличающихся друг от друга лишь на множестве нулевой а-меры.
Недостатком указанной реализации является то, что, сопоставляя с функцией tp (х) из 8J ее значение в некоторой точке х0, мы не получаем, вообще говоря, непрерывного линейного функционала в этом пространстве (исключение составляют те точки, в которых сосредоточена ненулевая мера). Более того, поскольку функции у(х) из пространства S* определены лишь с точностью до их значений на множестве нулевой a-меры, мы лишены возможности говорить об их значениях в фиксированной точке х0. Однако во многих вопросах, связанных с разложением представлений групп, представляется желательным рассматривать значение функции в точке как линейный функционал. Рассмотренный выше пример ядерного пространства бесконечно
78
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
дифференцируемых функций на отрезке подсказывает, как это сделать—для пространства бесконечно дифференцируемых функций значение в точке является непрерывным линейным функционалом.
В общем случае рассмотрим ядерное пространство Ф. Пусть в этом пространстве задано еще одно скалярное произведение (<р, ¦ф), и для некоторого п (ф, ф)г^(ф, ф)л при всех ф? Ф. Пополним пространство Ф по норме ||ф|р = (ф, ф). Мы получим гильбертово пространство ¦§. При этом существует непрерывное отображение пространства Ф в ¦§. Если пространство § реализовано в виде пространства функций, то тем самым задается и реализация пространства Ф в виде пространства функций. В этом случае имеет место (см. [14])
Теорема 1. Пусть (p—>f(x) —реализация ядерного пространства Ф в виде пространства функций, индуцированная соответствующей реализацией гильбертова пространства ¦§, ¦§ zd Ф в виде пространства ?®. Тогда каждому значению х можно поставить в соответствие линейный функционал в пространстве Ф так, чтобы для любого элемента из этого пространства равенство \ху = у(х) выполнялось почти при всех значениях х (относительно меры ъ).
5. Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств. Пусть даны гильбертовы пространства Ортогональной прямой суммой
этих пространств называется гильбертово пространство
СО
«= 2 п= 1
элементами которого являются последовательности 1 == (^1) * •• > * •*)>
При этом берутся лишь такие последовательности §, что сходится ряд
оо
2 111,лНл< + 00> где II h Пл — нориа в Нп.
Я — 1
Линейные операции в пространстве определяются покоординатно; если l = (h11..., h„,...), = g n,—), T0 l + 4 = (hi+gi,..., h„ + g„,...) и
a| = (ahb ..., ahn,...). Скалярное произведение в ^ определяется равенством
ОО
(S; Л) = Фп: Sn)nt
П = 1
где (h, g)„— скалярное произведение в
Если Ап, я=1, 2,..., — операторы в пространствах причем нормы этих операторов ограничены в совокупности, то им соответствует оператор А в ¦§, определяемый формулой А\ = (^jhj,..., Л„Ь„,...).
Пусть ¦§—гильбертово пространство и ?>1,..., его подпростран-
ства, такие, что
1) подпространства ¦§„ попарно ортогональны,
2) наименьшее замкнутое подпространство в ¦§, содержащее все подпространства ¦§„, совпадает с ¦§.
Тогда говорят, что ¦§ является ортогональной прямой суммой своих подпространств ¦§„ и пишут
СО
«= 2 ©«»• п = 1
Очевидна связь между введенными двумя понятиями ортогональной прямой суммы.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
79
6. Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств. Понятие ортогональной прямой суммы гильбертовых пространств можно несколько обобщить, рассматривая прямые суммы гильбертовых пространств ¦§!,...
взятых с положительными весами filt..., рп,.... В этом случае скалярное произведение определяется формулой
ОО
(I, Ч)= 2 (*я(Ьп. gп)п- (1)
п — 1
Это равенство можно записать в виде
(1, Л) = ^ (h (х), g (х))х ф. (х), (2)
где через X обозначено множество, состоящее из точек 1, 2,..., п,..., а через fi(x)— мера на этом множестве, равная цп в точке п. В соответствии с этим ортогональную прямую сумму гильбертовых пространств взятых с весами рп,..., можно записать в виде
¦6 = 5 ®«(*) d^(x). (3)
