Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
2. Операторы типа Гильберта — Шмидта. Перейдем теперь к рассмотрению бесконечномерных пространств. Оператор А, отображающий гильбертово пространство ^ в гильбертово пространство §2, называется оператором типа Гильберта—Шмидта, если для любой ортогональной нормированной системы векторов { е„ } в ¦§] сходится ряд
СО
2 Не«112- 0)
п = 1
Нетрудно показать, что для того, чтобы А был оператором типа Гильберта— Шмидта, достаточно выполнения условия (1) хотя бы для одного ортонормированного базиса в
Пусть — пространство функций. f(x) на множестве X, имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно меры a, a 8*— пространство функций F (у) на множестве У, имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно меры р. Если функция К(х, у) такова, что1)
$ $ I К (х’ у) I2 da (х) dP (у) < + °°>
то интегральный оператор
$ К(х, y)f(x) da (х)
есть оператор типа Гильберта — Шмидта.
Если А и В— операторы типа Гильберта — Шмидта, то аА -f- [Ш, где
а, р — комплексные числа, тоже является оператором типа Гильберта — Шмидта. Таким образом, операторы типа Гильберта — Шмидта образуют линейное пространство. Мы будем обозначать его через (§ь 4?а).
Введем в пространство (Qi; $%) скалярное произведение. Именно, если А и В — операторы типа Гильберта — Шмидта, отображающие пространство ¦§! в §2, то положим
СО
(А, В) = 2 (Ле«- Ве*> = Tr &*A)’ (2)
П = 1
где {е„} — некоторый ортогональный нормированный базис в пространстве Ряд (2) сходится, поскольку
со . . со со
2 |(Ле„, fie„)|sSy 2 И Аеп IIs + 2 l|fie„|P < + со.
п—1 п=1 п=1
*) Если интегрирование распространено на всю область изменения пере менных, мы будем обычно опускать указание области.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I 75
Нетрудно проверить, что (А, В) не зависит от выбора базиса {е„}, обладает всеми свойствами скалярного произведения и что (•§1, Фа) с указанным скалярным произведением является гильбертовым пространством.
Отметим еще следующие свойства операторов типа Гильберта — Шмидта:
1) Оператор А*, сопряженный с оператором типа Гильберта — Шмидта, является оператором того же типа.
2) Если один из операторов А и В является оператором типа Гильберта— Шмидта, а другой ограничен, то их произведение АВ является
оператором типа Гильберта — Шмидта.
3. Тензорное произведение гильбертовых пространств. Пусть ¦§! и §2 — гильбертовы пространства. Их тензорным произведением назовем гильбертово пространство g/r 0&2, ^i), состоящее из антилинейных операторов') типа Гильберта — Шмидта, отображающих пространство |>2 в Мы
будем обозначать (^2, ^i) также и через ^ ® Мы уже видели, что ® Фз является гильбертовым пространством.
Как показывает рассмотренный в п. 2 пример, тензорным произведением пространств и Sjj является пространство 2„0р, состоящее из функций К(х, У\ Для которых
$ $ ! К(х> у) I2 dq (х)d? (у) < + со-
Каждой паре векторов (х, у), х ? у ? §2 соответствует элемент х (х) у пространства ® |>2, отображающий вектор §2 в вектор
(x<g)y)z = (y, z)jc (2)
пространства Скалярное произведение двух элементов Xj ® У[ и ха ® у2
дается формулой
(Xi ® Уь Х2 ® у2) = (ХЬ Xg)| (уь у2)2. (3)
В самом деле, если — ортонормированный базис в пространстве §2, то
СО
(Х1®Уь Х2®у2)= 2 ((Xi ® У1) f/i, (Х2®у2)*л)2 =
П — 1
СО
= 2 ((Уь ^/1)2X1, (у2, f/t)a X2)j =
я = 1
со
= (Xi, x2)i 2 (у1; f„)3(y2,fn)a = (Xi,xa)I(yi,ya)2-
л= 1
Из равенства (3) вытекает, что если {е„} — ортонормированный базис в пространстве ¦§!, a — ортонормированный базис в пространстве §2, то элементы e,-(x)f/ образуют ортонормированный базис в пространстве ¦&1®'§2-
Определим теперь кронекеровское произведение ограниченных операторов. Пусть А (соответственно В) — ограниченный оператор в пространстве (соответственно 4?а), а X—элемент пространства ¦§! ® §2, т. е. анти-линейный оператор типа Гильберта--Шмидта, отображающий в §1. Тогда оператор АХВ* также отображает в ¦§! и является оператором типа
‘) Оператор А, отображающий пространство в называется анти-линейным, если для любых двух векторов х, у из ^>2 и любых комплексных чисел а, р имеем
