Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
А (ах + Ру) = а Лх + "р Ау.
76 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [1'Л. 1
Гильберта — Шмидта. Следовательно, отображение Х—*АХВ* является (линейным) оператором в пространстве ^ ® ^2. Мы будем обозначать его через А® В и называть кронекеровским произведением операторов А и В. Если х ? у ? §21 то
(Л ® fi)(x ®у) = Лх ®Ву. (4)
В самом деле, для любого элемента z из й2 имеем в силу равенства (2)
(А ® В) (х ® у) z = А (х (х) у) B*z = А (у, fi*z) х = (By, z) Лх = (Ах ® By) z.
Тем самым равенство (4) доказано.
Тензорное произведение операторов в гильбертовых пространствах обладает свойствами, аналогичными свойствам тензорного произведения операто-
ров в конечномерных пространствах. Именно,
м, + Ms) ® в= a (At ® В) + р (А, ®В), (5)
А ®(аВ1 + рВ2) = а(А ®B1) + p(A®Bs), (6)
(Ai®B1)(A2®B2)=A1A2®B1B2. (7)
Эти свойства доказываются точно так же, как и в конечномерном случае.
Найдем теперь матричные элементы оператора А® В. Пусть { е,- } — ортонормированный базис в пространстве ¦§], { fm } — ортонормированный базис в пространстве ¦?>,,. Тогда, как отмечалось выше, является
ортонормированным базисом в пространстве ^ ® ф2. Матричные элементы оператора С = А ® В выражаются в этом базисе формулой
cim, ]п = ((Л ® В) (ву ® f„), (в/ ® 1т)). .
Но по равенствам (3) и (4) имеем
((А ® В)(еу® f„), (e;®1m)) — ((Aej®Bf„), (et®tj) =
1 (Лву, e,)i (Bin, 1m)2 = <iijbmn.
Таким образом,
cim, jn = aijbmn- (8)
Мы показали, что матричные элементы'оператора А® В в базисе { е;® fm } являются произведениями матричных элементов операторов А и В в базисах { е*} и {fm } соответственно.
Наконец, покажем, что кронекеровское произведение двух унитарных операторов является унитарным оператором. Поскольку операторы е,- ® f„ образуют ортонормированный базис в пространстве ¦§] ® ф2, нам достаточно показать, что если операторы U и V в пространствах ¦?¦>] и ф2 соответственно унитарны, то
((U®V)(et® fm), (U® V)(ej® f„)) = (ei®fm, e,® f„). (9)
Но по равенствам (3) и (4) имеем
((U® V)(et®tm), (U®V)(ej®tn))=(Uei®Vim, Ue}®Vt„) =
= (Ueh Ue/h(Vlmt Vf„)2.
В силу унитарности операторов U и V
(1ЛЬ ЩЛ1Пт, И„), = (еь e;),(fm. !„),.
С другой стороны,
(Cj®fm, ву ® f/i) = (е,*, ey)i (f/л» ^/1)2*
Тем самым равенство (9), а с ним и унитарность оператора ?7® ^доказаны.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 1
77
4. Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства. Пусть в линейном пространстве Ф задана счетная система скалярных произведений (ф> 'Ф)а> 1 =бй<со, такая, что для любого элемента ф из Ф имеем
(ф, ф)1 =ё(ф, ф)2=г? ... =^(ф, ф)*5С ... (1)
Положим для любого к, что )]ф[|| = (ф, Ц>)к- Назовем последовательность элементов фь ... , ф„, ... из Ф фундаментальной, если для любого k имеем lim | <pm — ф„ Uft = 0. Пространство Ф называется полным, если для лю-т, п ->¦ со
бой фундаментальной последовательности фь ..., ф„, ...найдется такой элемент ф? Ф, что при всех k lim Ц ф—ф„ [|* = 0. Линейное пространство Ф,
п —*¦ со
в котором задана система скалярных произведений с указанными свойствами, называется счетно-гильбертовым, если оно полно.
Пополняя счетно-гильбертово пространство Ф по норме J ф ||А) мы получим гильбертово пространство Фк. При этом из неравенства | ф IU II ф IW> m < я вытекает, что при п>т существует непрерывное линейное отображение Г” пространства Ф„ в пространство Фт, оставляющее на месте элементы из Ф.
Назовем счетно-гильбертово пространство Ф ядерным, если для любого т найдется такое п, что отображение является оператором типа Гильберта— Шмидта. Примером ядерного счетно-гильбертова пространства является пространство f((a,b) всех бесконечно дифференцируемых функций ф (х) на отрезке [а, Ь]. Скалярные произведения (ф, if),, определяются в этом пространстве формулами '
п ь __
(ф, ¦ф)л= 2 $ (¦*) (*)dx- (2)
k = 0 а
Нам понадобится в дальнейшем одно свойство ядерных пространств, связанное с реализацией этих пространств как пространств функций. Известно, что гильбертово пространство может быть реализовано в виде пространства функций. Эти реализации строятся следующим образом. Выберем положительную меру а в некотором множестве X (например, на вещественной прямой) и обозначим через пространство всех функций ® (х), для которых сходится интеграл
5 | ? (х) |« Л (X).
