Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
х
Обобщим теперь понятие ортогональной прямой суммы гильбертовых пространств, взятых с заданными весами, отказавшись от требования счетно-сти числа слагаемых. Иными словами, рассмотрим некоторое множество X, на котором задана положительная мера р. Пусть каждой точке этого множества поставлено в соответствие гильбертово пространство ¦§ (х). Мы будем считать все эти пространства имеющими одну и ту же размерность. В этом случае все пространства ¦§ (х) можно отождествить с одним и тем же гильбертовым пространством ¦§ той же размерности.
Обозначим через пространство, элементами которого являются
вектор-функции | = Ь(аг) на множестве X, принимающие значения в пространстве ¦§, такие, что
1) для любого элемента h из ¦§ числовая функция (h (х), h) измерима по мере fi;
2) числовая функция || h (х) || имеет интегрируемый квадрат модуля по мере (*:
$ II h (л:) ||2 ф. (*)<+<». (4)
Определим в пространстве линейные операции, положив для вектор-функций I = h (х), л = g (х),
1 + Л = Ь (x) + g(x),
= ah (х)
и введем скалярное произведение, положив
(I, Л) = $ Ь (х) g (х) dii (х). (6)
Из условий (1) и (2) легко вытекает, что это произведение определено для
любых двух элементов | и т) из <Ш*. Легко проверить, далее, что простран-
ство удовлетворяет всем аксиомам гильбертова пространства. В частности, оно полно. Мы будем называть пространство ЗтГ непрерывной прямой суммой пространств ¦§ (х) относительно меры (i и писать
e7r = S@%(x)dii(x). (7)
Ограничение, что все пространства ¦§ (х) имеют одну и ту же размерность, несущественно. Достаточно предположить, что размерность п (х) пространства ¦§ (х) является измеримой функцией. В этом случае множество
} (5)
80
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
X разбивается на измеримые множества Хсо, Xit , Хп,..., такие, что на Хп имеем п (х) = п(п может принимать и значение оо). Полагая
СО
^ © .§ (х) d(i (х) = 2 \ ®$(х)ач(х), (8)
* п~Ля
получим определение непрерывной прямой суммы гильбертовых пространств и в этом случае.
Пусть Ф—ядерное счетно-гильбертово пространство и (cp, if) — скалярное произведение в нем, такое, что для всех элементов ф из Ф (ф, ф) < < (ф> ф)а Для некоторого п. Обозначим через ¦§ пополнение пространства Ф по норме Цф||2 = (ф, ф). Имеет место следующая теорема, обобщающая теорему 1 из п. 4.
Теорема 1. Пусть Ф, Ф си ¦§ — ядерное пространство и
h ^ = h (л-) — изометрическое вложение пространства б в пространство
=\ ® ¦& (х) d{i (х).
X
Тогда для любого х существует такой ядерный оператор Тх, отображающий пространство Ф в <?%', что для ф ? Ф функции ф (х) и Тх (ф) отличаются лишь на множестве меры нуль.
Доказательство этой теоремы читатель также найдст в книге [14] (на стр. 151—153).
Рассмотрим некоторые примеры непрерывных прямых сумм гильбертовых пространств. Если множество X дискретно, то непрерывная прямая сумма превращается в ортогональную прямую сумму гильбертовых пространств с заданными весами. Если же все пространства ¦§ (х) одномерны, то § ® ¦§ (х) dp (х) есть не что иное, как пространство 2® функций на множестве X, имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно меры (i.
7. Разложение операторов в непрерывную прямую 'сумму операторов. Пусть гильбертово пространство является непрерывной прямой суммой пространств $ (х),
@$(x)dn(x) (1)
X
и пусть ф —> ф (х) — вложение ядерного пространства Ф в По теореме 1
п. 6 для всех х?Х существует такой оператор Тх, что для любого ф?Ф
почти при всех х имеем ф (х) = Тх(у).
Пусть А — оператор в пространстве , оставляющий инвариантным Ф. Мы будем говорить, что пространства ¦§ (х) инвариантны относительно этого оператора, если почти при всех х имеем
АТХ=ТХА. (2)
Обозначим АТХ через Ах. Тогда для любого элемента ф?Ф имеем
(Аху)(х) = Ау(х). (3)
Мы будем говорить в этом случае, что оператор А разлагается в непрерывную прямую сумму операторов А (х).
Если все операторы представления A (g) разлагаются в непрерывную прямую сумму операторов Ax(g) в соответствии с разложением (1), то говорят, что представление А (g) разложено в непрерывную прямую сумму представлений Ax(g).
ГЛАВА II
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
