Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
f(g)= 2 2 (4)
а ? Л U—1
Обозначим через (Q) матрицу, состоящую из коэффициентов cfj функции fig). Так как f * t'tj ig) = t\j */(g), то имеет место равенство
(анл)“.=(л)“.(о), (5)
где (Л)у — матрица коэффициентов Фурье функции t*.(g) (см. п. 6). Но очевидно, что все элементы этой матрицы равны нулю, за исключением элемента а'1.., равного 1. Поскольку равенство (5) справедливо для всех I и j, то Са — скалярная матрица, т. е. са„ = 0 при i^j и
сп = --- = сии =с*
а а
Из полученных значений для коэффициентов с?, следует, что разложение центральной функции fig) в ряд Фурье имеет вид
d
f(g)= 2 С*2 taii(S) = 2 СаХа (g)-а ? Д ,=' а ? Д
Итак, мы доказали, что всякая центральная функция fig) с интегрируемым квадратом может быть разложена в ряд по характерам %J_g) неприводимых унитарных представлений группы G:
f(g)= 2 fer)- (6)
а ? А
Коэффициенты са выражаются по формуле
С а = Си =da\fig) tii ig) dg, 1 ==? i < da.
Суммируя эти равенства по I от 1 до da и деля на da, получаем
^=$/(g')Xa(§')^- (7)
§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП 71
Отметим, что характеры xa(g) полной системы попарно не эквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы G образуют ортогональную нормированную систему функций.
В самом деле, из соотношений ортогональности для матричных
элементов неприводимых унитарных представлений имеем при а -ф р
ал ______
\ Ха (&) Хй (g) dg= 2 S ^ (g) 4' fer) dg= 0. (8)
J 1 г=l l
Если же а = (3, то
d d
a a
I I Ха (g) I'2 dg=- 2 2 \t°ii{g)tajj{g)dg.
*= 1 1
Слагаемые, для которых i ф j, равны нулю, а слагаемые, для которых I = у, равны 1 jda. Поэтому
SlXa(g)P^= 1. (9)
Формулы (6)—(9) показывают, что каждая центральная функция с интегрируемым квадратом разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по ортогональной системе {Xa(g)}- Иными словами, система функций {Xa (g)< образует ортогональный нормированный базис в гильбертовом пространстве центральных функций с интегрируемым квадратом модуля. Отсюда вытекает, что для центральных функций справедливо следующее равенство Парсеваля:
$|/(g)|2^= 2 lc«l*- (10) а ^ А
Разложение по системе функций {Xafe)} позволяет находить кратность, с которой данное неприводимое унитарное представление Ta(g) компактной группы О входит в разложение приводимого представления Т (g). Если характер представления Т (g) равен ^ (g), то согласно результатам п. 10 § 1
l(g) = 2 «aXa (g), (И)
a ? Д
где аЛ — кратность, с которой Та (g) входит в разложение представления T(g). По формуле (7) коэффициент Фурье аа выражается равенством
aa=$ l(g)la(g)dg. (12)
Отметим частный случай. Пусть Ta(g) и Т (g) — неприводимые унитарные представления группы G. Тогда характер их тензорного произведения Та (g) ® Г^ (g) равен уа (g) (g). Отсюда вытекает, что
1й
Представления групп
1ГЛ. I
представление 7'т (g) входит в разложение тензорного произведения Ta(g)®T$(g) с кратностью
% = I X* (S) Хр (g) Хт (s) dS- (13)
Обозначим через T(g) представление группы G, комплексно-сопря-женное с представлением Т(g) (т. е. имеющее матричные элементы tц (g)). Очевидно, что
zf(g)=xT(g)-
Из равенства (13) вытекает следующее соотношение симметрии.
Пусть Ta(g), TB(g), T^(g) — неприводимые унитарные представления компактной группы О. Тогда представление Т (g) входит в разложение представления 7'a(g)(x) T^(g) с той же кратностью, с которой представление Та (g) входит в разложение 7’ (g) (х) T^(g) или представление Т {g) в разложение ТЛ (g) (х) 7'т (g).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 1 Некоторые сведения о линейных пространствах
Мы предполагаем, что читатель владеет теорией линейных пространств в объеме книги И. М. Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» и элементами теории гильбертовых пространств.
1. Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и операторов. Пусть и V3 — конечномерные линейные пространства. Обозначим через Vj и Vj сопряженные с ними пространства (т. е. пространства, элементами которых являются линейные функционалы в и 3?а).
