Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно так же строится разложение функций, постоянных на правых классах смежности по массивной подгруппе Н.
68 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
Объединяя полученные результаты, приходим к следующему утверждению:
Пусть Н— массивная подгруппа компактной группы, G. Тогда любая функция /(g), постоянная на двусторонних классах смежности HgH по подгруппе Н, разлагается по зональным сферическим функциям (g), а ^ А0 унитарных неприводимых представлений класса 1:
/(g) = % О?)-
а ? Л0
Коэффициенты разложения задаются формулами
Ca = da\f(g)tu(g)dg. (5)
Интегрирование в формуле (5) сводится к интегрированию по множеству сфер в однородном пространстве Ш = й/Н.
6. Свертка функций на группе. Сверткой двух функций fx(g)
и /<j(g), заданных на компактной группе G, называют функцию
/i * Л ig) =5 fi fei) dg!. (1)
Операция свертывания ассоциативна, но некоммутативна, т. е. имеет место равенство
(Л * /а) * /з (§) = Л * (/« * /з (Аг))> (2)
но, вообще говоря, /, */2 (g) ф /2 *fx (g).
Если функции fx (g) и /2 (g) непрерывны, то и их свертка является непрерывной функцией.
Найдем, как выражаются коэффициенты Фурье свертки /(g) двух функций fx (g) и /2 (g) через коэффициенты Фурье aat]. и tfi. свертываемых функций. Подставим в равенство
cl==\f(g)taij(g)dg (3)
вместо функции /(g) выражение (1). Меняя порядок интегрирования, получаем
СЪ = ИЛ Сй?1')/* (ft) *Mdgdgx =\\fi Ш* (Si) tau feft) dgdgx.
Ho
t\j (ggi) = 2 ilk (g) tij (ft)-k
Отсюда вытекает, что
Cij = Yj\f\(g) t'ik (g) dg 5 /a (g) tij (g,) dgx = 2 aikb\j. (4)
k *
Итак, нами доказана
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
69
Теорема 1. Пусть функция f{g) является сверткой функций fi(g) 11 fi(g)> заданных на группе О, и пусть коэффициенты, фурье функции /i (g) равны aij, а коэффициенты Фурье функции Л(ё) Равны Ь\г Тогда коэффициенты Фурье функции /(g) равны
c1j=y,alkblj- (5)
ft
Этой теореме можно дать более наглядную форму. Расположим коэффициенты Фурье функции / (g), соответствующие одному и тому же неприводимому представлению Т* (g), в виде матрицы (Са). Тогда функции f (g) соответствует бесконечная совокупность матриц (Са).
Теорема 1 означает, что если функции / (g) соответствует совокупность матриц (Л“), а функции /<j(g)— совокупность матриц (Ва), то их свертке f(g)=fi(g)*fi(g) соответствует совокупность матриц
(С“) = (Л*)(Д*).
Иными словами, свертке функции соответствует умножение матриц, составленных из коэффициентов Фурье свертываемых функций.
Совокупность непрерывных функций, заданных на группе G, образует кольцо, если понимать сложение функций (и умножение функции на скаляр) обычным образом, а в качестве умножения взять свертку функций. Это кольцо называют групповым кольцом группы G. Поставив в соответствие каждой функции f (g) из группового кольца некоторую матрицу (Са) ее коэффициентов Фурье, получаем гомоморфное отображение группового кольца в кольцо матриц. Эти отображения стоят во взаимно однозначном соответствии с классами неприводимых унитарных представлений группы G.
7. Разложение центральных функций. Функцию /(g) на группе G называют центральной, если для любых двух элементов g и gi этой группы выполняется равенство
f(ggi)=f(gig) (!) или, что то же самое, равенство
/ (g'l'ggi) = f О?)- (О
Таким образом, центральные функции постоянны на классах сопряженных элементов группы G. Примерами центральных функций являются характеры %(g) представлений T(g) группы G, так как они удовлетворяют функциональному уравнению
X (gilggi) = У. (g) (2)
(см. п. 9 § 1).
Если /(g) — центральная функция на группе G, то для любой
непрерывной финитной функции ср (g) на этой группе выполняется
70 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
равенство , , . .
f*4{g) = 4*f(g)- (3)
В самом деле, так как fig)— центральная функция, то /(ggT1) = =/(g71g)> и потому
/* <р ig) = ^/(ggT1) ? Ы dgi = J/feT'g) <p Ы dgi =
= ^ ? fe'T^/fe) 4ri = ? */(g)-
Равенство (3) показывает, что центральные функции принадлежат
центру группового кольца группы G, т. е. перестановочны со всеми
элементами кольца.
Выясним теперь, какой вид имеет разложение центральной функции fig) по матричным элементам неприводимых унитарных представлений. Пусть
