Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве кривых, проходящих через точку е, удобнее всего выбрать однопараметрические подгруппы, т. е. выбрать такие кривые g(t), что
g(t-\-s) = g(t)g(s), — co<fU<co. (1)
Возьмем следующие три однопараметрические подгруппы: совокупность Й! матриц вида
<¦>.(0 = 1 ! ! ], O')
/ г /siny\
/cos т
1 * COS {)'
\fsin-y
а
/cos 4 --- Sin-4\
2 |
I . t cos 4/
\ smT
Mt) = \ , (2)
и совокупность Q;i диагональных матриц
г it
i е2 0 i
“з (0= f ц j ¦ (3)
\0 е~~Ч
Простой подсчет показывает, что касательные матрицы аь а2, а3 этих подгрупп имеют следующий вид:
du>1 (t)
dt
do>2 (t)
I
0 1\
dt
. du>з (t)
dt
t-о 2 ^ o )’ ^
1 /0 -1',
V1 0
n 0
2 11 о/>
Матрицы aj, a2, a3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис алгебры Ли группы SU(2). Алгебра Ли этой группы состоит, таким образом, из матриц -|- x2a2 -f- х3а3, где хь х2, х3 — веще-
ственные числа.
Соотношения коммутации для матриц аь а2, а3 имеют следующий вид:
[fli, = аз> (7)
[a2, a3] = аи (Г)
[а3, aj] = <ц. (7V)
ГРУППА SU (2)
111
Соотношения (7), (7'), (7") допускают простое геометрическое истолкование: они совпадают с формулами для векторного произведения координатных ортов трехмерного евклидова пространства. Отсюда следует, что если
где вектор (zlt г2, г3) — векторное произведение векторов (л:ь х», ,v3) и СVu Ун, Уз)-
4. Комплексификация. Рассмотрим теперь комплексификацию алгебры Ли группы SU(2), т. с. комплексное линейное пространство, натянутое на матрицы а 1( а2, а3. Поскольку следы матриц ait а2, ас равны нулю, то все матрицы из этого линейного пространства также имеют нулевые следы. С другой стороны, очевидно, что любая матрица второго порядка с нулевым следом является линейной комбинацией (с комплексными коэффициентами) матриц alt а2, as. Таким образом, комплексификацией алгебры Ли группы SU(2) является пространство комплексных матриц второго порядка, след которых равен нулю. Но след произведения двух матриц не меняется при перестановке сомножителей, а потому след коммутатора любых двух матриц равен нулю. Отсюда вытекает, что комплексные матрицы, след которых равен нулю, образуют вещественную алгебру Ли. Базисом этой алгебры являются матрицы alt а2, а3, ialt ia2, ia3.
Покажем, что построенная алгебра является касательным пространством
— однопараметрическая подгруппа группы SL (2, С). Тогда для всех t имеем
Продифференцируем это тождество по i и положим ? = 0. Так как g-(0) = e и потому а (0) = В (0) = 1, P(0)=f (0) = 0, то а' (0) 5' (0) = 0. Таким обра-
зом, касательные матрицы к однопараметрическим подгруппам группы SL (2, С) имеют нулевой след.
Чтобы завершить доказательство нашего утверждения, осталось показать, что размерность алгебры Ли группы SL(2, С) совпадает с размерностью пространства матриц с нулевым следом. Но матрицы с нулевым следом являются линейными комбинациями матриц аи а2, а3 и потому комплексная размерность пространства таких матриц равна 3. С другой стороны, в силу соотношения ab — Pf=l каждый элемент группы SL (2, С) определяется тремя комплексными параметрами (например, при ~(^0 параметрами a, f, Ь), а потому комплексная размерность алгебры Ли этой группы также равна 3. Тем самым наше утверждение полностью доказано: алгеброй Ли группы SL (2, С) является пространство всех комплексных матриц второго порядка, след которых равен нулю.
Группа SL(2, С) называется комплексификацией группы SU(2), а группа SU(2) — одной из вещественных форм группы SL (2, С). Укажем непосредственный переход от группы SU(2) к группе SL(2, С). Как было показано Ьыше, каждый элемент и группы SU(2) определяется тремя вещественными параметрами <р, 0, ф — углами Эйлера. При этом матрица с углами
a = xlal+x2a2 + xsas и Ъ =yial + у2а2 -\-ysaz две матрицы из алгебры Ли группы SU(2), то
[а, Ь\ = z1a1 -|- z2a2 -|- zsas,
в точке
