Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
группе SL(2, С) всех унимодулярных комплексных мат-
риц второго порядка. В самом деле, пусть
а(*)8(<)-Р(<)ТГ(<)=1.
112
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. Ill
Эйлера ср, 0, имеет вид (4) из п. 1. Придадим углам Эйлера ср, 0, комплексные значения. Нетрудно показать, что тогда матрицы вида (4) из п. 1 будут унимодулярными комплексными матрицами второго порядка. При этом любая матрица из SL(2, С) может быть представлена в таком виде. Это представление однозначно почти для всех элементов группы SL (2, С), если ограничиться значениями параметров ср, 0, ф, принадлежащими области
О ^ Re 0 sg я, -j
0<Re?<2n, I (1)
— 2л sg Re <\i <z 2n. )
Иными словами, когда ср, 0, меняются в этой области, матрица g(ср, 0, ф) пробегает всю группу SL(2, С), причем почти все (т. е. все с точностью до множества меньшей размерности) матрицы g из SL (2, С) встречаются только один рпз.
Мы будем называть числа ср, 0, ф комплексными углами Эйлера матрицы g. Разумеется, выведенные в п. 2 формулы для вычисления углов Эйлера произведения двух матриц сохраняют силу и после комплексификации группы SU(2).
5. Связь с группой вращений. Вращением g трехмерного евклидова пространства называют линейное преобразование этого пространства, сохраняющее расстояние между точками пространства и началом координат и не меняющее ориентацию этого пространства. Множество 50(3) всех вращений является группой. Очевидно, что группа S0(3) изоморфна группе вещественных ортогональных матриц третьего порядка, определитель которых равен 1.
Установим связь между группами SU(2) и 50(3). С этой целью поставим в соответствие каждому вектору х (xIt х.2, хя) трехмерного евклидова пространства комплексную матрицу второго порядка вида
*„=( *,+Ч о>
— 1Хг — хя )
Пространство матриц вида (1) состоит из всех эрмитовых матриц g,
след которых равен нулю.
Далее, поставим в соответствие каждой матрице и из группы SU (2) преобразование Г (гг), переводящее матрицу hx вида (1) в матрицу
Т (и) hx = uhxii*. (2)
Поскольку для унитарных матриц гг* = гг'\ то следы матриц hx и Т (и) hx = uhxir1 совпадают, а потому след матрицы Т (гг) /гх равен нулю. Кроме того,
(Т(гг) hx)*=(uhx и*)* = гг/г^гг* = uhxii* = Т(гг) /гх, (3)
и потому матрица Т(гг) Их эрмитова. Следовательно, эта матрица имеет вид
T(u)hx = ( У\ -Vl+(V2] = fty, (4)
\У1 — 1У% —у3 /
где y(_yi, уъ Уъ) — вектор из трехмерного евклидова пространства.
ГРУППА SU 12)
113
Из равенства (2) видно, что координаты вектора у являются линейными комбинациями координат вектора х, а потому Т(и) можно рассматривать как линейное преобразование в трехмерном евклидовом пространстве. Покажем, что это преобразование является вращением евклидова пространства. Для этого заметим, что Det hx = =— х\—х\ — jcjj, и потому — Det hx равен расстоянию точки x(xvx^x9) от начала координат. Но и* = и~1, и потому
Det Т (и) hx = Det (nhx и*) = Det hx. (5)
Отсюда вытекает, что преобразование Т(и) не меняет Detftx и, следовательно, оставляет неизменным расстояние точек евклидова пространства ог начала координат. Наконец, нетрудно проверить, что определитель преобразования Т (и) н евклидовом пространстве равен 1, и потому это преобразование не меняет ориентации.
Итак, каждой унитарной унимодулярной матрице и мы поставили в соответствие вращение Т(и) в трехмерном евклидовом пространстве. Легко показать, что Т(и) является гомоморфным отображением группы SU(2) на всю группу SO(3), причем ядро гомоморфизма состоит из двух матриц е и — е.
Поскольку отображение Т(и) взаимно однозначно на достаточно малой окрестности единицы группы SU(2), говорят, что группы SU(2) и SO(3) локально изоморфны.
Установленная выше связь групп SU(2) и SO (3) допускает простое геометрическое истолкование. Именно, рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве сферу
xi + xl + xi = 4“- (6)
Каждой точке этой сферы поставим в соответствие ее образ М (xlt х2,
2
при стереографической проекции сферы на плоскость х3 —------^ из точки
N ^0, 0, -^) или, что то же, комплексное число w = xL -j- ixs. Можно показать, что дробно-линейному преобразованию
|а|8+|Р|*=1
+ а
1
плоскости z = —0- соответствует при этом вращение g сферы, причем
(7)
g= Т (и), и=[ 5- - ,
\ — ^ “ /
