Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
У (/ + /га)! (I + га)! (— т — га)! ат+л ^ 1
Если а = Ъ = 0, го по формуле (7) из п. 1 получаем, что^п(§)=0 при тА^п-ф 0 и
^1_mfe) = (-1),_mT,m- (6)
В частности, если g— , то tlmn (g) = 0 при от п ф 0, a tl (g) = iil.
т. — т 40 7
Еще одно выражение для матричных элементов оператора Tt (g) получается следующим образом. Из определения матричных элементов следует, что
T,(g)Mx)= Е (7)
т = — I
где, напомним,
фл (х) = —-,4^=. (8)
Y Y(I —«)! (/ + га)! ^
Так как
Т м . , ч (аХ + 7)/_л (p.V + В)/+л
Г1 (g) Цп (х) =
У (I — га)! (/ + га)!
то tl (g) равно коэффициенту при хг m в разложении выражения (9)
по степеням х, умноженному на У{I—от)! (/-]- от)!. По формуле Тейлора имеем
С fe)=Y ^+8>“1- - "•
(10)
Чтобы упростить это выражение, сделаем в нем подстановку у = а ([Зх -f- 8). Из равенства а8 — Pf = 1 вытекает, что cue -)- f =-^~1, и потому
t, ((Г) _ ЛГ (/ + «)! rvi+« fv _ i)i_ni
тл^ у (/_ л)!(/ + га)!(/ —т)! am+n dy-m I-»7 V7 ^ iv =
: а5*
126 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Заменяя здесь у на z-\-1 и принимая во внимание, что а8— 1 =Pf, получаем
—л[____________(! + т dl т гzl~n(z I 1У+П1 (11)
1тп'?) у (/ — и)! (/ _|_ п)\ (/ — от)! ал+т dzl~m У2 J*-[n ^
Выведем, наконец, интегральное представление матричных элементов tl (g). Для этого удобно воспользоваться реализацией представления в пространстве тригонометрических многочленов порядка 21. В силу формулы (10) п. 1 § 2 имеем
Tt (g) e~in'* = (ote‘> + ч)1~п (Be‘> -|- Ь^+пе~ич>. (12)
Поэтому
(Ti (g) e~inf, e~im?) __
tl (g) = mn v»/
V(l — m)\ (I + m)\ (I — n)\ (I + n)\
((aeiy -I- 7y-n (peiy + yl+ng-U^ g-imt) ^ ^
= V (I — m)\ (I + m)\ (I — n)\ (I + и)!
Чтобы представить это выражение в виде интеграла, заметим, что при кф tn
2*
(e-ifccp, e-im^=\_ J =
О
а при k — m
2л
(е~1т*, e~im,f) = (/ — от)! (/ -f от)! = (/ ~ + w)! ^
o
Поэтому для любого тригонометрического многочлена Ф(е1!р) из выполняется равенство
(Ф(е‘>), е1т?)=<-1~ т^ + т')1 ^ ф (е«>) е''т^ср.
о
Применив эту формулу к соотношению (13), получим
2л
tL(g) = iV(lr-^(/ + Si I К>+тУ л(И+йУ+л^('"-г)^ср. (i4)
о
Интеграл (14) с помощью подстановки e,v=z можно записать в виде контурного интеграла:
<*>=за j/1,,+5' § <“+1)'"“ »*+< 1 ч
Г
где Г — единичная окружность, пробегаемая против часовой стрелки. Заметим, что, вычисляя интеграл (15) с помощью вычетов, мы снова придем к формуле (10).
J 3] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 127
3. Выражение через углы Эйлера. В этом пункте мы получим выражение матричных элементов tl (g) через углы Эйлера ср, 0, ф матрицы g. По формуле (6) п. 1 § 1
gib о, ?)=*(?, о, 0)*(0, 6, 0)^(0, о, ф). (1)
Поэтому
т, \gi-b в, ф)] = т, [g(-f, 0, 0)] Т, 1^(0, 0, 0)1 Tt \g(О, О, ф)]. (2)
Таким образом, разыскание матрицы оператора 7) (g) в общем случае сводится к разысканию этой матрицы для операторов 0, 0)],
0, 0)] и ^ [^"(0, 0, ф)]. Но g(<p, 0, 0)—диагональная матрица
г \
' е2 0 \ g(4>, 0, 0) = [
\0 е 2У
Для таких матриц по формуле (1) п. 1
Т, [*(?, о, 0)] х‘-п = е- ^х1-'1. (20
Поэтому матрица оператора Tt [g^cp, 0, 0)] является диагональной матрицей, на главной диагонали которой стоят выражения е~,Л!р,
— / sS « «= /. Аналогичный вид имеет матрица оператора [^(0, 0, ф)].
Обозначим матричные элементы оператора Tt [^(0, 0, 0)] через tlm (0). Тогда в силу диагональности матриц операторов Tt [g'Op, 0, 0)] и Tt [g(0, 0, ф)] имеет место формула
