Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если реализовать как пространство многочленов степени 21 от одного переменного, то оператор представления Tt (g) задается в этой реализации формулой
Т, (g) ? (z) = фг + 8)»' 9 (-^±1). (8)
Укажем еще реализацию представления Tt (g) в пространстве три-
гонометрических многочленов порядка I. Для этого каждому многочлену F (z) степени 21 поставим в соответствие тригонометрический многочлен
Ф (el*) = e-il,fF(eiv). (9)
Иными словами, положим
Ф(е‘*) = 2 ane~in*. (9')
П = — I
Рассуждая точно так же, как и выше, получаем, что при реализации пространства как пространства тригонометрических многочленов порядка I операторы Tt (g) реализуются следующим образом:
Ti (g) Ф (<?'*) = e-il* (ае‘* + т)' (fie" + Ь)‘ Ф . (10)
Итак, мы построили представление Tt(g) группы SL(2, С) и указали различные реализации этого представления. Сузим теперь это представление на подгруппу SU(2) группы SL(2, С). Это означает, что в формулах ?8) и (10) надо положить 8 = а, 7 = —р. При этом получается представление группы SU(2). Мы будем обозначать его так же, как и представление группы SL(2, С), т. е. писать Tt(u), и ? SU(2):
Т, (а) т (г) = & + аГ ? (2=|), о:= ( _ | |)¦
2. Инфинитезимальные операторы представления Tt(u). В следующем пункте будет доказано, что построенное выше представление Tt(u) группы SU(2) неприводимо. Для этого нам понадобится выражение инфинитезимальных операторов представления Tt(u). Воспользуемся реализацией этого представления в пространстве многочленов степени 21 от одного переменного.
§2] НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Т^и) 119
Матрице
! t , . t\
I cos у ism
»(<)= . . t t\ 0)
у г Sin у cos у/
из подгруппы 2j (см. п. 3 § 1) соответствует оператор ^[ш^)], переводящий многочлен <р (х) в
/ t ... t / t t\2l I •* COS -у + * ЯП--
Ti [o(0] <p(x)= [ix sin ~2~\~ cos yj <P -----~t------Y~
ix sin у + cos у
Продифференцируем эго равенство no f и положим t = 0. Мы получим, что подгруппе соответствует инфинитезимальный оператор
A,=Ux + ±( 1-*')?. (2)
Точно так же доказывается, что однопараметрическим подгруппам и Q3 соответствуют инфинитезимальные операторы
Ач = —1х —)—2“ (1 ^
и
А>=1{хш~1)- <4>
Применим инфинитезимальные операторы Alt Ла, А3 к базисным одночленам х1~п, —
А,х1-п = у(/-п) х1-п 1 +^(/+л) х‘-п+\ (5)
А,х1-п = у(/ —п) х1-пл — у (/ + п) х1-п+\ (6)
A3xl~n = — itixl~n. (7)
Таким образом, инфинитезимальные операторы Ах и переводят базисные одночлены х1~п в линейные комбинации «соседних» одночленов х1-п-х и хг_л+1. Нетрудно написать операторы Н+ и Н_, переводящие х‘~п в одночлены, пропорциональные х1~п 1 и хг~л+1. Именно, положим H+ = iAi — и Н_ = iAx -)- Ла. Иными словами, положим
(8)
d
Я_=-2/х + ха^. (9)
Кроме того, введем оператор Н3, положив
<
~dx'
Нъ = Щ = 1 — х4~г. (Ю)
120 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Из формул (5) — (7) непосредственно вытекает:
Н+х1~п = (п — [)х1-п-\ (11)
Н_х‘-п = — (л + /)хг п+\ (12)
Н,хип = п^п. (13)
Из этих формул видно, что х1~п является собственной функцией
оператора Н3, соответствующей собственному значению п. Оператор //+ переводит эту функцию в собственную функцию оператора Hs, соответствующую собственному значению л —j— 1. Оператор же Н_ переводит х1~п в собственную функцию, соответствующую собственному значению п — 1. При этом оператор Н.у обращает н нуль функцию 1, соответствующую наибольшему собственному значению /, а оператор Н_ — функцию X'1, соответствующую наименьшему собственному значению—I.
3. Неприводимость. Докажем, что представления Tt(u) группы SU(‘2) неприводимы. Для этого достаточно показать, что в пространстве нет нетривиального подпространства, инвариантного относительно операторов А{, Аь Аа (см. гл. I, § 1, п. 10). Поскольку операторы Аь А2, Аз являются линейными комбинациями операторов Н_, H-j, то достаточно показать отсутствие нетривиального подпространства, инвариантного относительно операторов Н+, Н_, Н3.
