Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
gog(t)go 1Ы) = Й)1-
U X\CL\ —|—
то касательная матрица подгруппы gog(t) go1 имеет вид
о)
116
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
Отсюда вытекает, что единичная сфера S2 является однородным пространством с группой движений SU(2) и стационарной подгруппой 2, состоящей из матриц вида (1). В силу п. 3 § 1 главы I это означает, что сферу S2 можно отождествить с пространством левых классов смежности группы SU (2) по подгруппе Q. Таким образом, функции /(|), заданные на сфере S'2, можно рассматривать как функции /(гг) на группе SU(2), постоянные на левых смежных классах по подгруппе Q, т. е. такие, что
Легко проверить, что если углы Эйлера матрицы и равны ср, 0, 6, то ей соответствует точка М сферы с декартовыми координатами
§ 2. Неприводимые унитарные представления Tt(u)
В этом параграфе будут описаны неприводимые унитарные представления группы SU(2). Поскольку группа SU(2) компактна, эти представления конечномерны. Чтобы построить их, рассмотрим сначала один класс представлений группы SL (2, С) унимодулярных комплексных матриц второго порядка. Сужая эти представления па подгруппу SU('2), получим ее неприводимые унитарные представления.
1. Представления в пространствах однородных многочленов.
Каждой унимодулярной комплексной матрице второго порядка g =
двумерного линейного комплексного пространства. Этому преобразованию отвечает оператор
в пространстве функций от двух комплексных переменных.
Очевидно, что Т (g^gv) = Т (gi) Т (gа), и потому Т (g) является представлением группы SL (2, С). Это представление приводимо, поскольку в пространстве функций от двух комплексных переменных есть подпространства, инвариантные относительно преобразований Т (g). Например, любой однородный многочлен от двух переменных переходит при преобразовании Т (g) в однородный многочлен той же степени.
/(»А)=/(4 h?Q.
7И(sin 0 sin ср, — sin 0 cos ср, cos в).
тъ (
Очевидно, что сферические координаты точки М равны-----------------------
и 0.
а р\
соответствует линейное преобразование
wt = azi -)- 722, m2 = §zx -j- bZi
(1)
(2)
НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Т^и)
117
Пусть I — целое или полуцелое число. Обозначим через пространство всех однородных многочленов
/fo, гг)= 2 anz[~*zla + * (3)
п = — 1
степени 21 и через Tt(g) — сужение представления T(g) на пространство Мы увидим ниже, что Tt (g) является неприводимым представлением группы SL (2, С). Более того, это представление остается неприводимым, если сузить его на подгруппу SLJ(2) группы SL (2, С) (см. п. 3).
В дальнейшем будет удобно пользоваться другими реализациями представлений 7) (g). Чтобы получить эти реализации, заметим, что однородный многочлен f(zt, zQ) однозначно определяется своими значениями на любом «контуре» Г, пересекающем любую комплексную прямую a1z1~j-aiz1 = 0 водной точке. Поэтому можно задавать не как пространство однородных многочленов двух комплексных переменных, а как пространство функций на контуре Г.
Рассмотрим комплексную прямую z* = 1 и двумерном комплексном пространстве. Эта прямая пересекает каждую прямую, проходящую через начало координат (кроме прямой z.2 = 0) в одной и только одной точке. Поэтому каждый многочлен f(zb zt) однозначно определяется своими значениями на прямой z.2 = 1. Поставим в соответствие каждому многочлену f(zh гг) из Sj, многочлен степени ‘21 от одного переменного:
?(',)=/(-'„ 0= S а^гп- (4)
п ----- — I
Очевидно, что многочлен f(zlt г.,) определяется по ?(^i) следующим образом:
/(-„ zj = zf*[^'r (5)
Будем обозначать пространство многочленов степени 21 от одного переменного той же буквой Sjr Найдем операторы в этом пространстве, соответствующие операторам представления T[(g). Для этого заметим, что многочлену <р (z) соответствует однородный многочлен f(zly z2) от двух переменных, задаваемый формулой (5). Оператор T[(g) переводит этот многочлен в многочлен
fg(zb Z2)=/(x?i -j- JZ2, Р-S'! —j— Зг'з). (6)
В силу однородности многочлена f(zь z2) имеем
/g(^„ = - 3z.)aJ/(,V Y, l) =
= (h + 5„)>‘f(||±g). (7)
118
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
Поэтому многочлен <f>g(z)=fg(z, 1), соответствующий fs(zb z2), выражается через многочлен <р (z) по формуле
^W = (Pz + S)«4(f±f).
