Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через Sjln подпространство в состоящее из одночленов апх,~'п. Из формулы (13) п. 2 следует, что это подпространство инвариантно относительно оператора Hit причем различным значениям п соответствуют различные собственные значения оператора Н-А в
Предположим, что подпространство 1 в ф, инвариантно относительно операторов Н+, Н_, Н3. В силу п. 3 § 3 главы I из инвариантности подпространства X относительно Н}, следует, что оно является прямой суммой некоторых из подпространств $[п, т. е.
^ + • • • + $ins- (U
Поэтому, если $ ф 0, то оно содержит один из одночленов х1~п.
Воспользуемся теперь инвариантностью подпространства X относительно операторов Н+ и Н_. Из этой инвариантности вытекает, что X содержит все функции вида Щх1п и Hsxl~’n. Если Osgss^/— п, то в силу формулы (И) из п. 2 имеем
Hlxl~n = axl~n s, (2)
где а ф 0. Аналогично, если 0 5 sc / ~|- п, то имеем
Nf.xl-n=pxl-n+s, (3)
где РФ 0. Отсюда вытекает, что X содержит все одночлены хг~т>
— и потому совпадает с фг. Тем самым неприводимость
НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Т {«)
121
представления Т^и) группы S(J(2) доказана. Тем более неприводимо представление T,(g) группы SL(2, С).
Отметим," что построенные нами неприводимые представления Tt (и) группы SU(2) попарно неэквивалентны. В самом деле, представления с различными значениями / имеют различную размерность.
4. Инвариантное скалярное произведение. Поскольку группа SU(2) компактна, в пространстве Лт, ее конечномерного представления 'Л (и) существует инвариантное скалярное произведение (см. гл. 1, § 4, п. 2). Чтобы получить его явное выражение, достаточно вычислить скалярные произведения (хл~к, х'~'т), где —l^k —1-sCms^l.
Покажем сначала, что при k -ф т имеем (xl~k, х1~т) = 0. Для этого воспользуемся инвариантностью скалярного произведения относительно операторов Tt (h), где
V0 е у
Легко видеть, что оператор Tt(h) переводит х1~к в e~lktxl~k. Поэтому (xlk, xl-m) = (Tl(h)xl k, Tl(h)xl-m)=e-i(k-m)t (xl~k, x‘-m).
Из этого соотношения вытекает, что если k^tm, го (х1~к, х1~"т) = 0.
Нам осталось, таким образом, вычислить (х1 к, х1~к),
Для этого воспользуемся равенством
(х1\ xl-kll) = (Tl(ii)xl'-k, T[(ii)xl~k+1), (1)
где
ft t \
COS 2 Sin y
«= . t t ¦
Sill -<v COS
\ 2 2
Продифференцируем обе части этого равенства по t и положим t = 0 (т. е. перейдем к ипфинитезималышм операторам). Мы получим 0 = (А2хг ", xl- k+l)^~(xl-k, А.2х1'-кп).
В силу формулы (6) п. 2 отсюда имеем
0 = — (/ + /%)(х1 к^\ xlk+l)-\-(l — k^- \)(х1к, х‘~к). (2)
Инвариантное скалярное произведение определено с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы имело место равенство (1, 1) —2Л Тогда из рекуррентного соотношения (2) получаем
(х1-к, х1-к) = (/-&)!(/-{- k)\, — (3)
Тем самым найдено инвариантное скалярное произведение. Из формулы (3) следует, что система функций
122
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
образует ортогональный нормированный 'а 1ространстве ,?)г-
Этот базис состоит из собственных фун ¦5 > ^ров Tt (h), где
/ "
ь ( 0
-'41
\0 е 2/
Кроме того, имеем
¦(Ъ *'-*) = (/--*)!(/-{-?)!, (5)
где
i
У О) = X akxl~k. k=—i
В заключение заметим, что из формул п. 2 в. - w равенства H+tyn. (х) = — К 0 — п)(1~\~п~\~ 1) фл+l (Х)’
HJ(n (х) = — /(/ + «)(/-«+1) (х), ,¦ (6)
5. Полнота системы представлений Tt(u). Мы построили систему Т[ (и) попарно неэквивалентных унитарных неприводимых представлений группы SU(2). Оказывается, что этими представлениями исчерпываются все (с точностью до эквивалентности) неприводимые унитарные представления группы SU(2). Иными словами, имеет место
Теорема 1. Каждое неприводимое унитарное представление Т (и) группы SU(2) эквивалентно одному из представлений Tt{u),
1= 0, i-, 1,...
Мы опускаем доказательство этой теоремы, отсылая читателя к книге [16], где в п. 3 § 2 главы I эта теорема доказана для группы 50(3). Доказательство без изменений переносится на группу SU(2). Число I называют весом представления Т(и).
Пусть Т (и) — неприводимое унитарное представление веса I группы SU(2) в пространстве ,?).
