Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Если О — группа вращений окружности, то ее регулярное представление имеет вид
?'(&)/(?) =/(? + *)
(см. п. 8 § 2), а разложение регулярного представления на неприводимые сводится к разложению в ряд Фурье
/(?)=2>^гл<р
по матричным элементам е"1'9 неприводимых унитарных представлений этой группы (в этом частном случае такие представления одномерны).
Разложение регулярного представления любой компактной группы также связано с разложением функций f(g) в ряд Фурье. По аналогии с разложением функций на окружности, его называют гармоническим анализом функций на группе О.
Обозначим через Щ подпространство функций f(g), являющихся линейными комбинациями функций
*?,(*). 1 (2) Так как для любого j имеем
R Ы (g)=t-j ш = 2 tlj ы & (g) ? (3)
k
то это пространство инвариантно относительно R (g).
Выберем в качестве базиса в пространстве ф* функции t^(g). Из формулы (3) непосредственно вытекает, что сужение представления R(g) на задается в этом базисе матрицей (&(§)). Следовательно, оно эквивалентно представлению Ta(g) и потому неприводимо.
Мы построили, таким образом, подпространства ф? в 22(G), инвариантные относительно операторов правого сдвига, такие, что сужение
64
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Щ(§) представления R(g) на ^ эквивалентно неприводимому унитарному представлению Ta(g).
Осталось показать, что пространство ?2(G) является прямой суммой подпространств
da
2ЧО) = % 2 <§?,
а (=1
т. е., что любая функция /(g) из пространства Й2 (G) имеет однозначно определенное разложение на функции ff(g) из подпространств ,f)J. Для этого заметим, что по формуле (4) п. 3
d
f(g)= 2 2 с?#, (g). (4)
Сгруппируем члены этого ряда, принадлежащие подпространству Мы получим
da
/от) =2 2/?(*). (5)
а ? A i = 1
где
d
A (g) = 2 fe) 6 (в)
/=1
Тем самым построено разложение функции / (g-) на функции /j(g) из Это разложение однозначно в силу взаимной ортогональности подпространств &>а.. Заметим в заключение, что представления R^ig),
1 =^.i^.da эквивалентны Ta(g) и, следовательно, друг другу. Таким
образом, представление Ta(g) входит в разложение представления R(g) с кратностью da, равной степени этого представления:
я&)=2 а*т*<?)’ (7)
а
Итак, нами доказана
Теорема 1. Регулярное представление компактной группы G разлагается в прямую сумму неприводимых унитарных представлений этой группы. Каждое неприводимое унитарное представление группы Q входит в разложение регулярного представления с кратностью, равной степени этого представления. Инвариантные подпространства, в которых реализуются неприводимые слагаемые правого регулярного представления, состоят из функций вида
d
f{g)= 2 cbtaiM (§)
/=‘
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
65
Аналогичные утверждения имеют место для левого регулярного представления, причем в этом случае минимальные инвариантные подпространства состоят из функций вида
аа
f(g)= S c-fljig). (9)
i — 1
Заметим еще, что всякое неприводимое представление Т(g) компактной группы О входит в разложение регулярного представления этой группы.
Для доказательства этого утверждения построим согласно п. 4 § 2 отображение
f-*>/(*) = (Г(g)f, а) (10)
пространства 8 представления T(g) в пространство функций на группе G(а =? 0 — любой вектор из ?). В силу непрерывности представления T(g) функции f(g) непрерывны на группе G. Поэтому в силу
конечности инвариантной меры функции /(g) имеют интегрируемый квадрат, f(g)? ?2(G).
Мы построили отображение (10) пространства ? в ?2(G). Как было показано в п. 4 § 2, при этом отображении в нуль переходит лишь нулевой элемент из 2, а операторам представления T(g) соответствуют правые сдвиги.
Таким образом, представление T(g) эквивалентно сужению регулярного представления на инвариантное подпространство ?! — образ пространства 8 при отображении (10). В силу полной приводимости регулярного представления компактной группы G представление
