Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, нам надо доказать, что любая функция f{g) на компактной группе G, имеющая интегрируемый квадрат и ортогональная всем функциям системы Щ (g)[, равна нулю.
Сначала рассмотрим случай, когда функция /(g) непрерывна и обладает эрмитовой симметрией f(g~l)=f(g). Поставим в соответствие этой функции ядро
К (g, h) —f (gh >), h,g?-G. (11)
§ 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП 61
Оно обладает эрмитовой симметрией
K(g, h) =f (gh-1) =7JhFT) = ЩП ¦
При этом в силу непрерывности функции f (g) и конечности инвариантной меры компактной группы О интегральный оператор с ядром К (g, h) вполне непрерывен.
Поэтому, если функция f(g) не равна тождественно нулю, существует отличное от нуля собственное значение X интегрального оператора
At?(g)= \f (gh~l) ? ih) dh (12)
с конечномерным собственным подпространством '). Покажем, что существование такого подпространства несовместимо с предположением об ортогональности функции f(g) всем функциям {^?/(g)}.
Для этого докажем сначала, что из равенств
\f(g)tb(g)dg = 0, a GA 1 (13)
вытекает ортогональность всех функций ®{g) из функциям системы {t°ij(g)}.
В самом деле, так как ^0 и
%{gh) = ^1fik{g)taki{h), (14)
ft
то при ,4cp(g-) = X<p(g-) имеем:
§ ?(g)tb(g)dg = j- § АсР (g) (?) dS=
= т\\/ (gh~^ ? № *4 № dg dh =
= Т \ \ ^ ^ ? ^ fii ^gK) dgdh =
=г 2 $f(g) dg \ '•{h) tli^] dh-k
Из равенства (13) вытекает, что все члены последней суммы равны нулю. Тем самым доказано равенство
\<?(g)taij(g)dg=°- (15)
Заметим теперь, что ядро AT(g, h)=f (gh-1) оператора А инвариантно относительно правых сдвигов:
K(ggo> hgn) =f(gg<> (%»)“’) =f(gh l) = К (g, h).
*) Cm. [34] или [1], где соответствующая теорема доказана для любого вполне непрерывного самосопряженного оператора.
62
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Следовательно, инвариантен и сам оператор А. Но тогда в силу результатов п. 4 § 3 подпространство инвариантно относительно
сдвигов и формула
ПШ№=/Ш-
задает представление группы G в
Представление 7\(g) вполне приводимо, как конечномерное представление компактной группы О. Следовательно, как было показано в п. 4 § 3, любая функция ср (g) из является линейной комби-
нацией матричных элементов неприводимых представлений группы G.
Выберем в отличную от нуля функцию <p(g). Мы показали, что она является линейной комбинацией матричных элементов неприводимых представлений группы G. Но каждое неприводимое представление группы G эквивалентно одному из представлений Ta(g) и, следовательно, его матричные элементы являются линейными комбинациями функций {^/(g)}, Следовательно, и ср (g)
является линейной комбинацией функций {^(g)}. С другой стороны, мы показали, что cp(g) ортогональна всем функциям системы {t\j(g)}. В силу ортогональности этой системы о;гсюда вытекает, что <p(g’) = 0, вопреки условию.
Полученное противоречие показывает, что не существует отличной от нуля непрерывной эрмитово-симметричной функции, ортогональной всем матричным элементам неприводимых унитарных представлений этой группы.
Общий случай легко сводится к рассмотренному выше. Именно, если F(g) — отличная от нуля функция с интегрируемым квадратом, ортогональная всем функциям {^/(g)}, то построим сначала функцию 'Hs) = \l4gh)F{h)dh.
Она также ортогональна всем функциям {^“/(g)}. В самом деле,
5 Ф 0?) $ (g)dg=\\F (gh) F (h) $ (g) dg dh =
= И F (g)FTF)t'j(gh-x)dgdh =
= Ц \F (g) dg \ F(h) takj (h~v) dh = 0, k
так как
\F(g)ttk(g)dg= 0.
Простая проверка показывает, что функция t]>(g) непрерывна. При этом <К*) = $|/ЧА)|ЧА>0.
Далее, построим эрмитово-симметричную функцию
/(й‘) = 'Ий') + 'И^1)-
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
63
Так как f (e)=2ty(e)^>0, то эта функция отлична от нуля, и как легко видеть, ортогональна всем функциям {$/(§)}• Но мы доказали выше, что такой функции не существует. Следовательно, всякая функция с интегрируемым квадратом, ортогональная всем функциям системы {tf} (g)}, равна нулю. Полнота системы { fij (g)} доказана.
4. Гармонический анализ функций на компактных группах.
Результаты предыдущего пункта позволяют решить задачу о разложении на неприводимые компоненты регулярного представления компактной группы G. Напомним, что правое регулярное представление строится в пространстве 2'2 (G) функций f(g) на группе G, имеющих интегрируемый квадрат по инвариантной мере, и задается формулой
Я Ы/fe) =/(?§¦«)• (1)
