Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Применим полученные результаты к представлениям компактных коммутативных групп. Так как все неприводимые представления коммутативных групп одномерны, а представления компактных групп вполне приводимы, получаем следующее утверждение:
Любое представление компактной коммутативной группы, G ограниченными операторами в гильбертовом пространстве является прямой суммой одномерных представлений.
Заметим, что теорема Г неверна, вообще говоря, для некомпактных групп. Например, если G — аддитивная группа вещественных чисел, то одномерное представление х-~ех не является унитарным относительно какого-либо скалярного произведения. Доказательство, проведенное нами для компактных групп, теряет силу для некомпактных групп, так как инвариантная мера всей некомпактной группы бесконечна, и интеграл
$ (Т(g) х, Т(g) у) dg
расходится.
3. Ряды Фурье на компактных группах. Мы будем изучать в этой книге ортогональные системы функций, возникающие из неприводимых представлений компактных групп. Эти системы функций связаны с матричными элементами таких представлений.
Разобьем множество всех неприводимых унитарных представлений компактной группы G на классы эквивалентных представлений и выберем из каждого класса по одному представлению. Получающаяся система представлений {/'„(g)} называется полной системой попарно
§ 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП 59
неэквивалентных неприводимых унитарных представлений группы О. Множество индексов обозначим А.
Имеет место следующая основная
Теорема 1. Пусть {^(g)}, а ? А, — полная система попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы О, и пусть размерность представления Та (g) равна da, а его матричные элементы — t%(g), 1 ^l,j^da. Тогда функции
V <4 (g)> 1 < i,j ^da, о. ? А (1)
образуют полную ортонор миро ванную систему на группе О относительно нормированной инвариантной меры, dg на этой группе. Таким образом,
\nj{g)Zjg)dg= О, (2)
если (a, I, j) не равно ([3, т, п) и
(3)
Из полноты системы {ft-fe)} следует, что любая функция f{g)na группе G, такая, кто
\\f<Jg)?dg<i + co,
разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по функциям %-(g)-
d
/(g) = Z 5 abtaij(g)- (4)
а ? А *'./= 1
Коэффициенты Фурье этого ряда вычисляют по формуле
а% = с1Л? <&) 4j (g) dg. (5)
При этом выполняется равенство Парсеваля
d
§ \ f{g)f<ig= 2^2 '“'И2- (6)
а ? A i, /= 1
В случае, когда G—группа вращений окружности, ее неприводимые унитарные представления имеют вид е1п<? (см. главу II, п. 2 § 1). Сформулированная теорема означает для этого частного случая орто-нормированность и полноту системы функций {eiw?\ на окружности
относительно меры
Перейдем к доказательству теоремы. Чтобы доказать ортогональность матричных элементов, соответствующих неэквивалентным
60
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
представлениям Ta(g) и Tp(g), рассмотрим матрицу
A!} = \Ta(g)BuT^(g-')dg, (7)
где все элементы матрицы Вц равны нулю, кроме элемента Ьц, равного 1. Из инвариантности меры dg легко следует, что матрица Ау коммутирует с представлениями Ta(g) и 7\ («):
TAg,)Aij = Ai}T^g,), g0?a (8)
По лемме Шура отсюда вытекает, что матрица A;j- равна нулю. Но элементами этой матрицы являются интегралы вида (g) tl (g"1) dg. В силу унитарности представления T^(g) имеем tjp(g~i) = t'^.(g), и потому матрица Ац состоит из интегралов вида
Поэтому из равенства нулю матрицы А-и- вытекает, что
\ fe) (S) dg= °> a ^ P- (9)
Аналогично доказывается, что при (k, i) ф (p, j)
I %<?)$№ *g==V- (0O
Для вычисления интеграла (3) рассмотрим матрицу
A1i = yra(g)BiiTAgi)dg, (Ю)
где Вц имеет указанный выше смысл. Легко проверить, что эта матрица коммутирует с матрицами представления Ta(g) и потому, по лемме Шура, является скалярной матрицей. Отсюда вытекает, что
$1 **«(*) 1*^=*,
где X не зависит от k. Чтобы найти заметим, что след матрицы Ац равен <4^. С другой стороны, он равен следу матрицы Вн, т. е. 1. Поэтому \ = 1 jda.
Мы доказали, таким образом, ортогональность системы функций и условие нормировки (3). Перейдем к самой трудной части теоремы — доказательству полноты этой системы (полнота системы матричных элементов неприводимых унитарных представлений компактной группы доказана Ф. Петером и Г. Вейлем [284]).
