Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
2. Рассмотрим газообразный гелий при комнатной температуре. Гелий — одноатомный газ, и средняя энергия его атомов при температуре Т равна Eh=(3/2)kT. Это выражение позволяет найти среднюю скорость (и импульс) атомов гелия.
а) Вычислите среднюю скорость (в сантиметрах в секунду) атомов гелия.
б) Вычислите (в сантиметрах) длину волны де Бройля для этой средней скорости. Сравните длину волны со средним расстоянием между атомами газа. (Предположим, что давление равно 1 атм, и определим среднее расстояние по известной плотности.)
Можно ожидать, что квантовые эффекты играют роль, если длина волны де Бройля будет больше среднего расстояния. Классическое описание годится в противоположном случае. В классическом представлении газ — это некое количество «биллиардных шаров», непрерывно сталкивающихся друг с другом, тогда как с точки зрения квантовой механики газ есть совокупность взаимодействующих волн. Поэтому интересно выполнить указанное сравнение для различных температур.
в) Плотность жидкого гелия равна около 0,15 г/см3. Температура сжижения гелия при атмосферном давлении является наинизшей достижимой температурой. По аналогии с задачей б) сравните длину волны де Бройля со средним расстоянием между молекулами при температуре 0,01 К.
¦3. Выполните то же сравнение длины волны де Бройля и среднего расстояния для электронного «газа» в куске меди. Существуют модели металла, в которых электроны рассматриваются как газ, заполняющий объем металла, подобно тому как атомы гелия заполняют сосуд. Допустим, что в кристаллической решетке меди на каждый атом приходится один свободный электрон. В этом случае расстояние между атомами равно среднему расстоянию между электронами.
4. Рассмотрим трехмерную задачу о косом падении частицы на плоскость, разделяющую области Rt и R2. Допустим, что в большей части областей и R% потенциальная энергия частицы постоянна и равна и V2 соответственно. В области, примыкающей к границе раздела, потенциал быстро меняется от Vi до V2. Таким образом, в областях Ri н R2 па частицу не действуют никакие силы, но вблизи поверхности раздела она испытывает большую силу, перпендикулярную к поверхности. Пусть полная энергия частицы равна Е, причем E>V1 и Ei>V2.
Траектория частицы будет испытывать «преломление» на границе раздела, и мы рассмотрим это преломление с классической и квантовомеханической точек зрения.
а) Получите закон преломления с помощью классической механики. В этом случае при прохождении через поверхность раздела изменяется нормальная компонента импульса частицы, но касательная к поверхности компонента остается
i\2
неизменной. Закон сохранения знергии дает нам импульс в области R2, если мы знаем импульс в области /?1( что позволяет найти закон преломления.
б) Получите закон преломления с помощью волновой механики и покажите, что он совпадает с классическим результатом. Вам нужно найти связь между энергией Е. импульсом р, частотой ш и волновым вектором k частииы. Наши предыдущие рассуждения в тексте относились к области, для которой потенциал равен нулю, н в данном случае не годятся. Подумайте, как нужно дополнить теорию в нашем случае. Здесь возникают следующие вопросы: будет ли частота одинаковой по обе стороны поверхности? Будет ли непрерывна тангенциальная составляющая волнового вектора вблизи поверхности? Всегда ли верны соотношения p=%k и Е=% со?
Вы знаете ответы на эти вопросы: классический закон преломления, полученный в задаче а), должен быть верен. Таким образом, вам известен результат, который до.:жг.а дать квантовая теория в этом случае.
в) Согласно классической динамике частица не может быть отражена на поверхности раздела; возможно только преломление. Свет, падающий на поверхность раздела двух диэлектриков, преломляется и отражается. Что будет происходить в квантовомеханической теории, т. е. в случае реальных частиц?
5. Рассмотрим дифракционную решетку, показанную на рисунке к этой задаче. Такая решетка состоит из большого числа тонких параллельных царапин, нанесенных на плоской поверхности (стекло, металл, пластик и т. п.) на равном расстоянии друг от друга. Для простоты рассмотрим двухмерную задачу. Пусть падающая на решетку плоская волна распространяется в направлении, которое лежит в плоскости чертежа (перпендикулярной к плоскости решетки).
Решетка
К задаче а. Схематически показанная дифракционная решетка. Импульс падающей на решетку волны обозначен вектором р-. Расстояние между соседними штрихами решетки равно а. Справа показано простое геометрическое построение, позволяющее найти направления дифракционных максимумов. Конечный импульс определяется пересечением окружности, ра» диус которой равен модулю импульса, с семейством параллельных линий, соответствующих разрешенным значениям вертикальной составляющей переданного решетке импульса. Показанные мй рисункс векторы соответствуют десяти возможным конечным импульсам, включая начальный
