Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Уже сейчас можно сказать, что частица в любом реальном эксперименте не может быть описана простой плоской волной. У такой волны квадрат модуля амплитуды есть величина постоянная, не зависящая ни от х, ни от t, и вероятность найти частицу в любой области с единичным объемом одна и та же, т. е. не зависит от положения этой области. Поскольку все пространство образовано бесконечно большим числом таких единичных областей, то вероятность нахождения частицы в любой из них равна нулю. Вероятность
206
нахождения частицы в пределах любой конечной области также равна нулю, и это лишено физического смысла.
Таким образом, строго монохроматических волн быть не может. Возможно, однако, что в произвольно большой области пространства волну приближенно можно считать плоской волной с постоянной амплитудой. За пределами этой области амплитуда должна падать до нуля. Если данная область включает и ту часть пространства, где происходит исследуемое нами явление, можно считать волновую функцию идеализированной плоской волной. В физике очень часто говорят о плоских волнах. При этом молчаливо предполагают, что волна является приближенно плоской: ока похожа на плоскую волну в очень большой части пространства.
45. Любая волновая функция, описывающая состояние (движения) частицы с массой т, удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона (39Ь). Положив т = О, получим уравнение, которому удовлетворяют электрические и магнитные векторные поля. Уравнение Клейна — Гордона не идентично уравнениям Максвелла, и об этом не следует забывать. Можно ли считать, что в уравнениях Максвелла содержится больше, чем в уравнении Клейна — Гордона? На этот вопрос ответим утвердительно. Уравнения Максвелла описывают такое явление, как поляризация фотона. Состояние движения фотона не определено полностью, если известны энергия и импульс. Остается еще поляризация. Для каждого значения импульса мы имеем у фотона два линейно независимых состояния поляризации. Ими могут быть, например, состояния левой и правой круговой поляризаций.
Возникает вопрос: может ли и материальная частица находиться в различных состояниях поляризации? Ответ заключается в том, что некоторые частицы могут быть поляризованы, а другие нет. Примерами частиц, не обладающих поляризацией, являются пионы и а-частицы. Электроны, протоны и нейтроны — примеры частиц, которые можно поляризовать. У этих последних имеется внутренний момент импульса, называемый спином. Различные ориентации спина соответствуют разным состояниям поляризации. Пионы и а-частицы спина не имеют; в их системе покоя нет ничего, что указывало бы направление. Эти частицы сферически симметричны.
Чтобы описать состояние поляризации частицы с ненулевым спином, нужно, кроме переменных х и i, иметь новую переменную, отвечающую спину. Поэтому волновое уравнение для частиц со спином, например для электронов, протонов и нейтронов, должно быть более сложным, чем уравнение Клейна — Гордона (39Ь), но тем не менее волновая функция этих частиц будет также удовлетворять уравнению Клейна — Гордона. Можно сказать, что это уравнение описывает пространственно-временные свойства частицы, не обращая внимания на спин. Мы не будем здесь рассматривать квантовомеханические методы описания спина. Они в значительной мере аналогичны описанию поляризации электромагнитных волн.
46. В заключение этой части главы перепишем волновое уравнение (39Ь) в системе единиц СГС (или СИ). При этом в нем появятся
20 Г
константы % и с и оно примет вид
t)-^{x, = i). (46а)
Воспользовавшись соображениями размерности, читатель может проверить правильность этого уравнения. Заметим, что каждый член уравнения имеет размерность (волновая функция)/(длина)2.
Дополнительная тема: векторное пространство
физических состояний *)
47. Рассмотрим с новой точки зрения принцип суперпозиции, применимость которого к волнам материи была нашим главным предположением.
(‘Обозначим через Ж' совокупность всех волновых функций, представляющих возможные физические состояния частицы с массой т. Пусть ни одна из них не равна нулю. Присоединим к этой совокупности новую волновую функцию, которая равна нулю для всех координат и всех значений времени. Новую совокупность обозначим Ж. Она обладает следующими свойствами.
1) Если фх и ф2 — Две волновые функции из совокупности Ж, то сумма Ф1+Ф2 также принадлежит этой совокупности.
2) Если гр принадлежит Ж, а с — любое комплексное число, то функция п|: также принадлежит Ж.
Принцип суперпозиции волновых функций утверждает следующее: если ij?! и г|)2 — две имеющие физический смысл волновые функции, a Ci и с2 — два любых комплексных числа, то функция
г|) = Cii|)i+c2i|V (47 а)
также является имеющей физический смысл волновой функцией при условии, что она не обращается тождественно в нуль.
48. Совокупность Ж обладает характерными свойствами абстрактного математического объекта, называемого абстрактным комплексным в:кторньш пространством. Перечислим постулаты, на которых основано существование таких объектов.
