Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
больше. Поэтому более правильное выражение принципа неопределенностей имеет вид
Ах’Ар^>1. (6а).
Это то же самое соотношение неопределенностей, которое мы весьма кратко обсуждали в гл. 1.
7. Рассмотрим теперь волны в трехмерном пространстве. Заметим, прежде всего, что все сказанное об одномерной волне применимо к каждой координате отдельно. Таким образом, если ха и ра (а=1, 2, 3) — декартовы координаты и импульсы частицы, то
AxaApaZs\, а = 1, 2, 3. (7а><
219-
С другой стороны, частица может быть весьма точно локализована в пространстве, скажем, в направлении 1, а ее импульс может быть известен с большой точностью для направления 2. Читатель должен вообразить волновой пакет, стянутый в узкую область, параллельную оси 2, но далеко распространившийся вдоль этой оси. В этом случае координата хг частицы известна точно. В направлении оси 2 мы можем иметь почти периодическую волну, распространившуюся на большое расстояние, а это означает точное знание импульса р2. При этом точность определения координаты хх частицы никак не ограничена точностью определения компоненты импульса рг, а это означает, что в общем случае
АХа'Арр, Г5г 0 для афр. (7Ь)
Неравенства (7а) и (7Ь) являются соотношениями неопределеннос-
тей для волн (частиц) в трехмерном пространстве.
8. Чтобы развить эти идеи, вернемся к представлению произвольной волны в виде суперпозиции плоских волн:
гр (х, 0) = 5 d® (р) А (р) exp (ix ¦/',). (8а)
(х)
где
А (р) - (2л)~3 ^ d3 (х) гр (х, 0) ехр (— ix-p). (8Ь)
(х)
Мы обсуждали это представление в п. 39—44 гл. 5, где было сказано, что из любого из этих выражений следует другое.
Допустим теперь, что функция А (р) локализована в очень узкой области пространства импульсов. Это означает, что А (р) велика лишь в непосредственной близости к некой точке р~ра, а повсюду в другом месте мала. Для простоты можно даже считать А (р ) исчезающе малой всюду, за исключением узкой области около р„. Обращаясь к интегралу (8а), мы интуитивно ожидаем, что функция яр (лс, 0) не будет ограничена малой областью пространства, а будет иметь вид приближенно плоской волны с импульсом р0. Действительно, рассмотрим крайний случай, когда ширина области, где А (а) отлична от нуля, стягивается к нулю. [При переходе к такому пределу амплитуда А (р) должна возрастать, в противном случае интеграл, дающий значение ip(x, 0), обратится в нуль ]
Читатель видит, что чем лучше локализована функция А(р), тем шире область функции гр (лт, 0). Существует, однако, замечательная симметрия между уравнениями (8а) и (8Ь), из которой следует, что чем лучше локализована функция гр (лт, 0), тем более размыта функция А(р). Если функция гр (лт, 0) хорошо локализована, т. е. исчезает за пределами узкой области вблизи значения лг0, то положение частицы хорошо определено. В этом случае плохо определен ее импульс, как это можно видеть из формулы (8а).
9. Эти идеи допускают более точное выражение, и можно связать степень «концентрации» функции А (р) со степенью «концентрации» функции ip (лг, 0). Результатом является соотношение неопределенностей: точность определения положения обратно пропорциональ-
220
на точности определения координаты. Мы обещали читателю, что в этой книге он не будет иметь дела с теорией интеграла Фурье, поэтому лишены возможности произвести строгий вывод соотношения неопределенностей*). Нашей целью было лишь качественное понимание этого соотношения. Как мы видим, сама идея предельно проста. Если положение частицы задано точно, волновой цуг должен быть очень коротким. Но это условие несовместимо с точным знанием импульса, когда волновой цуг должен содержать большое число полных периодов синусоидальной волны. Из волнового описания частицы немедленно следует, что ее положение и импульс нельзя одновременно определить с неограниченной точностью.
Вернемся к краткому рассмотрению физического значения соотношений неопределенностей в п. 20—26 гл. 1. Теперь должно быть совершенно ясно, что эти соотношения не связаны с неучитываемыми «возмущениями», которые наши измерительные приборы вносят в классическое движение классической частицы. Смысл соотношений неопределенностей в том, что они устанавливают пределы, за которыми классические идеи перестают действовать. Для квантовомеханической частицы (волнового пакета) такие понятия, как одновременно измеренные точное положение частицы и точное значение импульса, просто не имеют смысла.
10. При каких условиях электрон можно считать классической частицей, подобной заряженному «биллиардному шару»? Эти условия аналогичны условиям справедливости геометрической, или лучевой, оптики: линейные размеры прибора, через который проходит частица, должны быть гораздо больше длины волны. В противном случае мы будем наблюдать характерные для волн дифракционные явления. Обозначим через d линейный размер прибора, которым может быть диаметр линзы или ширина щели, а через К — дебройлевскую длину волны частицы. Чтобы классическое описание было достаточно точным, необходимо, чтобы d^>k. Так как %=2п/р, то это соотношение можно записать в форме
