Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Волновое уравнение и принцип суперпозиции
36. Теперь мы постараемся привести доводы в пользу дифференциального уравнения, описывающего распространение волн материи в пустом пространстве и известного как уравнение Клейна — Гордона. Мы рассмотрим идеи, на которых оно покоится.
Наиболее общей идеей является предположение, что волновое уравнение, описывающее единичную частицу с массой т, должно быть линейным дифференциальным уравнением. Это означает, что решения такого уравнения удовлетворяют принципу суперпозиции: любая линейная комбинация двух решений также является решением. Кроме того, мы предполагаем, что каждое решение уравнения, удовлетворяющее некоторым разумным условиям, соответ-
202
ствует, по крайней мере в принципе, определенной физической ситуации. Эти предположения имеют далеко идущие физические следствия. Амплитуды волн материи могут складываться, подобно амплитудам электромагнитного поля. (Уравнения Максвелла — также линейные дифференциальные уравнения.)
Читатель мог заметить, что при рассмотрении дифракции волн материи от атомов на поверхности кристалла или от двух щелей мы неявно предполагали линейность. Так, мы складывали амплитуды волн от каждой щели, чтобы получить результирующую амплитуду. Мы увидим, что эта операция является следствием общего физического принципа.
37. Попытаемся теперь найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяли бы любые волны материи, описывающие частицу с массой т. Начнем с дифференциального уравнения, которому удовлетворяют все плоские волны:
г|)(дг, t\ р) = exp (ix-p — mt). (37а)
Мы пользуемся системой единиц, в которой %=с=1, и обозначаем импульс (равный волновому вектору) через р, а энергию (равную частоте) — через со. Каждая такая плоская волна задается (с точностью до постоянного множителя, определяющего амплитуду волны) импульсом р.
Попробуем написать линейное дифференциальное уравнение (куда р явно не входит), которому удовлетворяет любая плоская волна. Поскольку оно линейно, то ему удовлетворяет любая линейная комбинация плоских волн и, как мы покажем, любая волна де Бройля, описывающая, частицу с массой т. Энергия со и импульс р частицы связаны равенством
со2—/>2 = т*. (37Ь)
Дифференцируя волновую функцию дважды по времени, имеем
р)= — сЛ|>(лг, t\ р). (37с)
Дифференцируя ее дважды по координате хи получим
t; /»)=—X, t; р), (37d)
*и аналогично по координатам х2 и х3.
Принимая во внимание (37Ь), получаем
t\ р) — У\К*. t\ р) = —т^(х, t; р), (37е)
еде через обозначен оператор Лапласа
Э2 , Э2 , эа V = дх\ + дх\ + • (37f)
Уравнение (37е) и есть то, что мы ищем. Мы видим, что ему удовлетворяют все плоские волны вида (37а), т. е. волны с любыми
7* Зак. 127
203
значениями р. Поэтому любые волны де Бройля, образованные суперпозицией плоских волн, также будут ему удовлетворять.
38. Волновое уравнение (37е) известно как уравнение Клейна — Гордона. Это простейшее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют волны де Бройля. Заметим, что электромагнитные волны в пустом пространстве также удовлетворяют этому уравнению (для фотона т = 0). Читатель легко проверит, что не существует такого уравнения первого порядка (т. е. уравнения, содержащего лишь первые производные по независимым переменным), которому удовлетворяли бы все волны де Бройля. Искомое уравнение должно быть не меньше чем второго порядка, и причина этого в том, что связь (37Ь) между энергией и импульсом является квадратичным выражением.
Повторяем снова, ибо это очень важно: уравнение (37е) описывает распространение частицы только в пустом пространстве, т. е. далеко от всех других частиц. Аналогично, однородные уравнения Максвелла, т. е. уравнения, в которых плотности тока и заряда равны нулю, описывают распространение электромагнитных волн в пространстве, свободном от токов и зарядов, т. е. вдали от других частиц.
39. Суперпозиция двух плоских волн, т. е. волна
i) = А' exp {ix-p'—•i(n't)-\-A"ex\)(iX'p" — io/t), (39a)
где А' и A" — две произвольные комплексные константы, тоже удовлетворяет уравнению (37е). Иными словами,
SY)2
— Ц = —тЦ)(х, t). (39b)
Рассмотрим более сложную (непрерывную) суперпозицию плоских волн, имеющую вид
¦ф (л:, /) = J d3 (р) А (р) exp {ix-p—Ы). (39с)
(00)
Здесь А(р) — комплексная функция вектора р. Интеграл берется по всему трехмерному /^-пространству. Величина со зависит от р согласно (37Ь), причем со > 0. Иными словами,
со = со~(/?) = Ур2 + tn2- (39d)
Волновая функция 1|>(лг, /)> определяемая (39с), также удовлетворяет дифференциальному уравнению (39Ь). Это наиболее общий вид волны де Бройля. Мы предполагаем, что функция А (р) ведет себя достаточно «разумно», так что интеграл в (39с) имеет смысл.
