Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
223
определяющих траекторию, должны быть велики по сра внению с длиной волны де Бройля. Классической динамикой не исчерпывается, однако, «классический предел». Важно также выяснить условия применимости классической электромагнитной теории. Они отнюдь не сводятся к отсутствию дифракционных явлений, а заключаются в том, чтобы отдельные фотоны не проявляли себя как частицы.
Мы не станем больше заниматься вопросом о класси ческом пределе. Для дальнейшего достаточно грубых качественны х представлений. Читатель должен сам обдумать этот вопрос. Наши рассуждения показывают, что условия осуществления «классического предела» зависят от рассматриваемой системы, и это обстоятельство нельзя забывать.
13. В качестве нового примера плодотворного применения соотношения неопределенностей попытаемся оценить с его помощью энергию связи атома водорода. Мы обещали сделать это в п. 26 гл. 2. Воспользуемся системой единиц СГС, в которой соотношение неопределенностей имеет вид
Ах-A p^h. (13а)
Допустим, что классическое выражение для полной энергии электрона в электростатическом поле протона
имеет смысл и в квантовой механике. Переменная р х арактеризует импульс в электронной волне, а переменная г являет ся некоторой «координатой положения» для волны.
Первый член в (1ЗЬ) всегда положителен, второй — отрицателен. В основном состоянии системы энергия имеет мин имальное из возможных значений. Мы знаем, что она должна быть отрицательной, в противном случае не будет связанного состояния. В классической теории, выбрав орбиту электрона достаточно м алого радиуса, можно обеспечить сколь угодно малое значение энергии связи. Для такого состояния неопределенность в положении будет мала, и из квантовомеханического принципа неопределенн остей немедленно следует, что в этом состоянии должна быть вел ика неопределенность в значении импульса, что означает, что ве личина рг!2т велика. Иными словами, сделав подходящим выбором малого г потенциальную энергию большой (и отрицательной), мы получим большое значение кинетической энергии, и если последня я «перевесит», то значение полной энергии будет большим. С другой стороны, взяв малое значение р, мы будем иметь небольшую кинет ическую энергию, но тогда г будет велико и отрицательная потенц иальная энергия мала. Легко понять, что существует некое оптим альное значение радиуса, для которого полная энергия принимает минимальное значение.
14. Чтобы увидеть, каким образом «баланс» между кинетической и потенциальной энергией приводит к установлению связанного состояния, сделаем некоторые грубые приближения. Заменим не-
224
определенность в положении на радиус г, а неопределенность в импульсе на сам импульс р и перепишем соотношение неопределенностей в виде
rp~ti. (14а)
Для определенности предположим, что
гр = fi. (14b)
Воспользуемся теперь равенством (14Ь), чтобы исключить г из выражения (1ЗЬ) для полной энергии. Получаем
F р ер 2т %
(14с)
Полная энергия имеет минимум в точке р=рй, которую мы получим, приравняв нулю производную дЕ/др:
/дЕ\ =Po_el = a (14d)
\др/р=р, т % v ’
Решая это уравнение относительно р0 и полагая г0=А/рм имеем
ра=ё*т/%, г0=1ь2/егт, (14е)
а также
Pi
2т~
' %
.___е*т_ р
2h*
(14f)
Сравним этот результат со значением энергии, полученным в п. 23 гл. 2. Мы видим, что оба результата совпадают. То же следует сказать и о радиусе г0, совпадающем со значением воровского радиуса, г0=а0=
=0,53-10-8 см.
15. Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точным значением энергии связи нужно считать «случайным».
Важно лишь то, что мы получили верный порядок величины как для энергии свя-
Рис. 15А. Если электрон локализован в небольшой области около ядра, неопределенность его положения мала. В этом случае велика неопределенность импульса, что означает большую кинетическую энергию электрона. Его потенциальная энергия при этом будет отрицательной
и большой по модулю
Рис. 15 В. Чтобы кинетическая энергия была небольшой, электрону должна быть доступна значительная область пространства. У электрона должна быть большая неопределенность в положении. В этом случае его среднее расстояние от ядра велико и потенциальная энергия мала noj модулю. Основное состояние определяется компромиссом, при котором полная энергия имеет наименьшее^возможное значение,-] допускаемое принципом неопределенности
зи, так и для размера атома и что, основываясь на волновых представлениях., можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро. Структура атома является результатом компромисса. Энергия основного состояния — это наименьшая энергия, при которой
