Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Гейзенберг показал, что, хотя не существует пределов точности, с которой можно определить либо импульс, либо положение частицы, имеется принципиальный предел для точности определения этих
-4Аг
Рис. 2А. Различные типы волн в пространстве. Волны в квантовой механике, как правило, не сннусоидальны^в данный момент времени. Произвольная волна является произвольной функцией положения и может не походить на гармоническую волну. На графиках показана вещественная частью волновой функции. В общем случае * волновая функция является комплексной^,
iX'-
217
Рис. 4А. Пример волнового цуга, для которого понятие длины волны не имеет смысла. Для такого цуга импульс определен очень плохо. Это справедливо и для всех волн, изображенных на рис. 2А, за исключением •JCTi'GpTOH волны сверху
а)
мл
mi
'величин в один и тот же момент времени (т. е. для данной волновой функции). Это утверждение имеет точную математическую формулировку в виде знаменитого принципа неопределенностей Гейзенберга, сформулированного им в 1927 г.*). Мы получим этот принцип с помощью простых интуитивных соображений.
5. Начнем с волн де Бройля в одномерном пространстве. Для простоты возьмем систему единиц, в которой Л = 1. В этом случае длина волны и импульс будут связаны формулой Я=2я/р и понятия волнового вектора и импульса совпадают.
Наши рассуждения будут основаны на графическом изображении волн. На рис. 5А изображены четыре различных волновых цуга конечной протяженности (независимой переменной является координата х). В общем случае волновая функция является комплексной величиной и ее графическое изображение вызывает трудности. Мы можем, однако, изобразить в отдельности вещественную и мнимую части волновых функций, и читатель может считать, что на рис. 5А изображена одна из них.
На всех графиках показаны «прерванные» синусоидальные волны, описываемые функцией sin(px) в той области, где они не исчезают. Такие волны, «обрезанные» с обоих концов, разумеется, не являются истинно синусоидальными. Поэтому отвечающая им длина волны (и импульс) не может быть точно определена; точным значениям этих величин отвечает «чистая»
в)-
4
г
г) ¦
Л.
Рис. 5А. К отношению неопределенностей для координаты и импульса. Точно определенное положение требует короткого дуга волн. Точно известный импульс требует протяженного цуга синусоидальных волн. Оба требования исключают друг друга, а) Положение определено плохо; импульс определен хорошо; б) положение определено лучше; импульс определен хуже; в) положение определено хорошо; импульс определен плохо; г) положение определено очень хорошо, импульс определен очень плохо
синусоида, простирающаяся от —оо до +оо.
*) Heisenberg W. Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretichen Kinematik und Mechanik.— Zs. f. Phys. 1927, v. 43, p. 172.
218
Обращаясь к рис. 5А, замечаем, что чем точнее известно положение частицы, тем хуже мы знаем ее импульс. Обозначим неопределенность в положении х через Ах. В качестве грубой меры неопределенности положения можно принять длину волнового цуга; если он состоит из п полных волн, то
Дх~пХ=2тг/р, (5а)
где к — длина волны. Однако ясно, что чем больше число полных колебаний в волновом цуге, тем точнее известна длина волны. В качестве грубой меры относительной неопределенности для длины волны можно принять величину
т~х=т- ' (5Ь)
где Др*— неопределенность в импульсе (поскольку X=2njp, то АХ/Х=Ар/р).
Из (5а) и (5Ь) получаем следующее утверждение о порядке величины произведения Ах-Ар:
Ах-Ар~ 1. (5с)
Мы опустили множитель 2л, так как нас интересует лишь оценка
порядка величины. Наше определение Ах и Ар не точное, а лишь ка-
чественное, поэтому и результат лишь качественный.
6. Выражение (5с) является соотношением неопределенностей-для частного случая волн, показанных на рис. 5А. Соотношение неопределенностей, справедливое
лм/шА,
для общего случая любых волн, имеет форму неравенства. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим V
волну другого типа, показанную Рнс. 6А. д ^ этого волнового цуга по_
на рис. 6А. Очевидно, ЧТО У ЭТОЙ ние задано столь же плохо, как и для иэо-
а; браженного на рнс. 5А, а. В данном случае
ВОЛНЫ ПрИОЛИЗИТ0ЛЬНО ТА же плохо определен и импульс, во всяком слу-
неопределенность В положении, 'йеетввд неравен:
ЧТО И у ВОЛНЫ а) на рис. 5А, НО ства; можно представить себе волну, длк
' / которой неопределенность как положения»
неопределенность в импульсе (в так и импульса произвольно велика длине волны) здесь значительно
