Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть частота (энергия) волны равна со, а волновой вектор (импульс) равен Р/. Найдите возможные направления дифрагировавших волн и покажите, что это ожно сделать таким образом. Частица с импульсом pi сталкивается с решеткой. После столкновения ее импульс будет ра. В этом столкновении энергия частицы не меняется, но решетке передается импульс q=pi—р0- Покажите, что возможные направления дифрагировавших волн определяются следующим простым условием. Компонента переданного импульса q в направлении решетки (вертикальная компонента на рисунке) должна быть кратна величине 2п!а, где а — расстояние между штрихами. Таким образом, вертикальная составляющая переданного импульса «квантуется».
6. а) Рассмотрим дифракцию видимого света на решетке, показанной в предыдущей задаче. Пусть постоянная решетки а равна двум длинам волн света, а
213
угол падения волны равен 45 . Найдите все углы, под которыми выходят дифрагировавшие волны. Сделайте чертеж.
б) Изменим наш мысленный опыт, поместив решетку между двумя пластинами из стекла, имеющего показатели преломления 1,51 (крон) и 1,74 (флинт). Толщина каждой пластины равна 5 мм. Свет падает со стороны пластины из крона. Длина волны, постоянная решетки и угол падения те же, что и в первой части этой задачи. Найдите направления выхода дифрагировавших лучей из нашей двухслойной пластинки и сравните результат с первой частью задачи.
7. В опыте Дэвиссона — Джермера электроны с энергией 88 эВ падают перпендикулярно к поверхности металлического кристалла, атомы которого расположены в квадратной решетке с периодом а— 2,9 А- Начертите схему, на которой нанесены точки пересечения дифрагировавших лучей с плоскостью, параллельной поверхности кристалла и находящейся от нее на расстоянии 5 см. Чертеж должен быть в соответствующем масштабе, чтобы показать все дифрагировавшие лучи.
8. Некогда жил физик, который выполнил описанные выше опыты для ряда металлов. В своем отчете он написал: «С металлом А я наблюдал дифракционную картину трехкратной симметрии, с металлом В — четырехкратной, с металлом С — пятикратной, с металлом D — шестикратной». (Картина имеет «-кратную-симметрию, если она не меняется при повороте на угол 2а!п.) Обсудите подробно этот отчет.
9. Нейтроны из реактора проходят через колонну из поликристалл и ческого бериллия. Это вещество выбрано потому, что оно слабо поглощает нейтроны. Оказывается, что нейтроны, вышедшие из колонны, «холодные», их кинетическая энергия соответствует температуре, меньшей 50 К. «Тепловые» нейтроны, кинетическая энергия которых отвечает комнатной температуре, сильно рассеиваются бериллием. Можете ли вы объяснить это явление?
10. Предположим, что волновая функция t) является решением уравнения Клейна — Гордона для положительной частоты (масса частицы равна т). Пусть это решение описывает частицу (волновой пакет), достаточно четко ограниченную в пространстве и движущуюся в более или менее хорошо определенном направлении. Рассмотрим функцию гря(дс, 0. заданную следующим образом:
4>д(*, 0 = 'Р(—х, f).
а) Покажите, что грд (дс, i) также является решением уравнения Клейна — Гордона для положительной частоты.
б) Волновая функция грд (дс, 0 отвечает другому состоянию движения частицы. Поясните физически, как это состояние движения if>p (дс, t) связано с состоянием движения, описываемым волновой функцией 1р(дс, t). (Здесь может быть высказано ясное и простое положение. Подумайте сперва о «средних» траекториях в обоих случаях.)
11. Эта задача аналогична предыдущей, но труднее. Рассмотрим функцию
(дс, t), заданную условием
4>Г (*> 0=4»* (¦«, —<).
где звездочка означает комплексное сопряжение.
а) Покажите, что (дс, t) также является решением уравнения Клейна — Гордона для положительной частоты.
б) Поясните физически, как связаны друг с другом состояния движения, описываемые волновыми функциями 1|)Г (дс, t) и тр (дс, t).
Дополнительная литература
Существует огромная литература по теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Читатель познакомится с ней в свое время, но сейчас мы обращаем его внимание на монографию, сыгравшую большую роль в физике:
Курант. Р., Гильберт Д¦ Методы математической физики. Т. 1 и 2.— М.: Гостехиздат, 1951; 2-е изд.— М.: Мир, 1964.
Во втором томе рассмотрены дифференциальные уравнения в частных производных. Первый том посвящен разделам математики, особенно важным для физн-
214
ков: фурье-анализу, теории матриц и векторных пространств, теории некоторых обычных линейных дифференциальных уравнений.
Важнейшие области математики, которые позже сыграли большую роль в придании математической строгости квантовой механике, были развиты почти одновременно с ней. Д. Гильберт из Гёттингенского университета был одним из ведущих математиков в этой области. Бесконечномерное векторное пространство, столь важное для современной формы квантовой механики, названо в его честь гильбертовым пространстом. Первоначально Гильберт не имел в виду физические применения своей теории линейных пространств, но открытие квантовой механики стимулировало дальнейшие исследования, связанные с физическими применениями. Этот период характерен плодотворным взаимодействием между математиками и физиками.
