Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вихман Э. -> "Квантовая физика" -> 102

Квантовая физика - Вихман Э.

Вихман Э. Квантовая физика — М.: Наука, 1972. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizika1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 194 >> Следующая


40. В теории интегралов Фурье доказывается следующая теорема. Если ф(дг, 0) —достаточно «разумно» ведущая себя функция х и если мы определим функцию А(р) через интеграл

А (р) = (2л)“3 ^ d3 (дг)я|) (х, 0) exp (— ix-p), (40а)

(00)

204
ТО

\р (х, 0) = J da (р) А (р) exp[(ix«/>). (40b)

(со)

Смысл и доказательство приведенной теоремы связаны с определением «разумно ведущей себя» функцкл. Мы не станем доказывать здесь эту теорему, и вообще нам не понадобится теория интеграла Фурье. Наша цель — выяснить физический смысл теоремы’и показать огромное значение интеграла Фурье в физике.

41. Постараемся понять смысл этой теоремы. Предположим, что ip(jc, 0) — волновая функция де Бройля для момента времени t—0. С помощью интеграла (40а) можно сопоставить этой волновой функции амплитуду А (р) в пространстве импульсов. Имея эту амплитуду, можно определить новую волновую" функцию if, (х, 0 с помощью равенства

гМлг, t) = J d%(p) А(р) exp[(ix}p—Ш). (41а)

со)

Если мы положим в этом равенстве ^=0 и сравним его о (40Ь), то увидим, что ^(лг, 0) =т]з(лг, 0). Новая волновая'функция удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона (39Ь)'и в «начальный момент» времени /=0 совпадает с волновой функцией (лг, 0). Это значит, что мы получили метод для решения уравнения Клейна — Гордона, пригодный для того случая, когда начальные условия заданы в виде функции от х в момент /=0.

42. Рассмотрим вопрос о единственности полученного таким методом решения уравнения Клейна — Гордона. Зтот метод, в соответствии с которым мы образуем функции А (р) и трх (х, t) из данной функции яр (лс, 0), действительно дает функцию ^(х, t), удовлетворяющую уравнению (39Ь). Вопрос в том, нет ли других решений дифференциального уравнения (39Ь), которые в момент’t = 0 совпадают с функцией ^(дг, 0)? Такое решение существует. Дифференциальному уравнению (39Ь) удовлетворяет также волновая функция вида

г|/ (х, t) = exp (ix-p + mt), со = Yрг + m*.

Это решение мы называем «решением для отрицательной частоты», чтобы отличить его от «решения для положительной частоты», заданного выражением (37а).

Мы исключаем из рассмотрения решения с отрицательной частотой по физическим соображениям. Они не годятся для частиц с положительной энергией (т. е. с положительной частотой). Однако я сно, что любому решению уравнения (39Ь) для положительной ч астоты соответствует решение для того же импульса /?, но отрицательной частоты, и уравнение Клейна — Гордона имеет поэтому в два раза больше решений, чем нам нужно. Происходит это потому, что уравнение (37Ь) имеет два решения со для каждого р: одно положительное, а другое отрицательное. Только положительное

205
решение имеет физический смысл: энергия частицы — величина положительная.

Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (39Ь) не определяет полностью волну де Бройля. Мы присоединим к нему условие, требующее исключения решений с отрицательной частотой (отрицательной энергией). С этим ограничением можно показать, что каждое решение уравнения (39Ь) однозначно определяется значением этого решения при t=0. Таков ответ на поставленный нами вопрос, но мы не будем заниматься доказательством этой теоремы.

43. Наиболее важный вывод из наших рассуждений заключается в том. что каждая имеющая физический смысл волновая функция де Бройля t) может быть представлена в форме (41а). Здесь амплитуда А (р) однозначно определяется равенством (40а) по волновой функции в некоторый определенный момент времени, например при /=0. Таким образом, любая волна материи может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн. Если угодно, мы можем считать это нашим основным предположением, что несколько снижает значение уравнения Клейна — Гордона. Оно не больше чем красивое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют физически приемлемые волновые функции.

44. Соответствующим выбором амплитуды А (р) в импульсном пространстве интеграла Фурье (39с) [или (41а)] мы можем образовать волновые пакеты, которые будут в данный момент приближенно локализованы в некоторой ограниченной области пространства. Такие волновые пакеты будут обладать заметным значением лишь в этой области пространства, а за ее пределами при \х\, стремящемся к бесконечности, быстро уменьшаться до нулевого значения. Волновой пакет с такими свойствами соответствует частице, положение которой приблизительно ограничено определенной областью пространства. Ясно, что все исследуемые частицы могут быть описаны такими волновыми функциями. Мы предполагаем, конечно, что частицу легче всего обнаружить (если мы наблюдаем ее с помощью счетчика) в той области пространства, где значение волновой функции велико. Такое предположение находится в согласии с нашей квантовомеханической интерпретацией квадрата модуля амплитуды как вероятности некоторого процесса. Пока что нам достаточно понимать, что «частицу легче всего найти там, где амплитуда волновой функции велика». Позже мы рассмотрим частный случай волновых функций, для которых можно будет указать точный рецепт вычисления вероятности обнаружить частицу в данной области пространства.
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 194 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed