Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
dp^> 1. (10а)
В системе единиц СГС написанное соотношение имеет вид dp^>h. Это тот же критерий, который мы обсуждали в п. 20—26 гл. 1.
11. Для иллюстрации применений соотношения неопределенностей попробуем выяснить, с какой точностью можно задать классическую траекторию в частном случае электрона. Рассматриваемая ситуация показана на рис. 11А и 11В. Слева на экран падает пучок электронов, каждый из которых описывается плоской волной. Экран имеет щель шириной d. Мы хотим выбрать такое значение d, чтобы пятно на расположенном справа, экране, созданное прошедшим^че-рез щель пучком, было возможно меньше. Расстояние между обоими экранами равно L.
*) Обычный вывод соотношения неопределенностей см. в книге: Шифф J1. Квантовая механика.— М.: ИЛ, 1957.
221
Предположим, что все электроны имеют один и тот же начальный импульс р. У электрона, проходящего через левый экран, неопределенность в положении в пространстве равна d. Поэтому
Рис. 11 А. Попытка создать узкий пучок электронов, ограничив щелью широкий пучок, падающий на экран слева. Пучок дифрагирует на щелн, и неопределенность Д0 в угле, под которым электроны выходят из щели, обратно пропорциональна ее ширине d. Размер пятна на
экране справа Ax~d-\-L А
Рис. 11В. Эти три схемы показывают, как ширина пучка зависит от ширины d входной щели.. Заметим, что на этих схемах длина волны электрона меньше, чем на рис. II А. В случае а) пятно на экране велико, так как велика входная щель. Если сильно уменьшить размер входной щели, как это показано в случае в), пятно все же остается большим за счет дифракции пучка. Наименьшее пятно мы получим, выбрав d~VXL* В этом случае размер пятна будет того же порядка. Такой оптимальный выбор показан в случае б)
неопределенность в импульсе
Ар~-1
(11 а>
Предположим, что Ар мало по сравнению с р. В этом случае мы можем выразить (11а) через неопределенность А0 в значении угла & (угол отсчитывается от направления первичного пучка), под которым электрон выходит из экрана, и
—
р ~ pd’
де
(11Ь>
222
-Пусть Ах измеряет размер пятна на правом экране. Величина Л.г определяется двумя факторами — размером отверстия в левом экране и расширением волны вследствие дифракции на щели (рис. ПА).
Таким образом,
Ла'~ d + LAB ~ d-\-L/pd. (Не)
Поскольку длина волны Х=2л/р, то можно записать (11с) в виде
Ax~d-\-kL./d, (lid)
если пренебречь множителем 2я в последнем слагаемом. Здесь мы хотим оценить только порядок величины, и поскольку конечный результат имеет более удобный вид без множителя 2л, то мы его опускаем.
Итак, если величину d сделать очень малой, то второе слагаемое в (lid), возникающее вследствие дифракции, станет очень большим, а если d велико, то велико первое слагаемое. Нетрудно вычислить оптимальное значение d0, для которого величина Ля, оцененная по (lid), проходит через минимум. Мы находим
d0 = /ХГ, A*min = 2d0 = 2|/1Г. (lie)
В оптимальном случае размер пятна на экране будет в два раза больше ширины щели. (Множитель 2 не следует понимать буквально. Вспомним, что мы оцениваем порядок величины и считаем 2я~ ~1.) Пусть L = 1 м, а энергия электронов равна 150эВ.Этой энергии отвечает длина волны А~1А, и из оценки (lie) следует, что размер пятна на правом экране может быть порядка 0,02 мм. Таким образом, с макроскопической точки зрения траектория электрона между
двумя экранами оказывается достаточно узкой.
12. Подробное изучение условий, при которых физическую систему можно описывать законами классической физики,— интересная, но не простая задача. Иногда поступают следующим образом. Начинают с того, что решают задачу квантовомеханически, а затем полагают /г-=0, чтобы перейти к классическому пределу. Такой подход недостаточно строг. Мы не можем полагать %=0, так как знаем, что в действительности fi = 1 (в соответствующих единицах). Истинная проблема в том, чтобы показать, каким образом система, в действительности управляемая законами квантовой механики (как вообще все системы), кажется с достаточной точностью управляемой классическими законами. При рассмотрении этой проблемы естественно пользоваться системой единиц, в которой Л=\, как было сделано в нашем примере.
Вопрос о достижении классического предела имеет много аспектов. Его нельзя исчерпать с помощью какого-либо одного утверждения. Если, например, понимать под «классическим пределом» классическую динамику частиц, то условием его достижения является ненаблюдаемость дифракционных явлений. Мы обсуждали это условие в предыдущем пункте. Чтобы волновой пакет был хорошо локализован и мы могли бы указать его траекторию (интерпретируемую как траектория частицы), линейные размеры щелей,
