Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Линейное комплексное векторное пространство Ж является совокупностью элементов (называемых векторами), которые обладают следующими свойствами.
1) Из любых двух векторов фх и ф2 в Ж можно образовать единственный вектор г|э, принадлежащий Ж, который называется суммой % и п обозначается Операция образования суммы двух
векторов удовлетворяет правилам:
а) 'ф^+Ч^'фг+ф! Для любых двух ipi и из Ж\
б) ^i+(^2+tJ53)=№i+^2)+^3 Для любых трех векторов ф2 и г|)3 из Ж\
в) в совокупности Ж существует единственный вектор, называемый нулевым, который обладает следующим свойством:
г|)-)~0='ф для любых гр из Ж-
*) При первом чтении можно пропустить.
208
2) Рассмотрим вектор ф из Ж и любое комплексное число с. В Ж существует единственный вектор cip, называемый произведением вектора if) на скаляр с. Операция умножения вектора на скаляр (комплексное число) удовлетворяет правилам:
а) (cic2)',)5=ci(c21p) для всех векторов тр и любых двух скаляров Ci и с2;
б) (с1+с2)'ф=С1'ф+С2,ф для любого вектора г|э и любых двух скаляров с1 и с2;
в) с(^1+’ф2)=пр1+сф2 ДЛЯ любых двух векторов гр! и ф, и любого скаляра с;
г) для скаляра 1 мы имеем l-ij;=ip.
Эти постулаты определяют абстрактное линейное векторное пространство в поле комплексных чисел. Последняя фраза означает, что скаляры, на которые умножаются векторы, являются комплексными числами. Если мы ограничим значения этих скалярое вещественными числами, то получим определение линейного векторного пространства в поле вещественных чисел. Для краткости говорят: «комплексное векторное пространство» и «вещественное векторное пространство». Примером хорошо знакомого читателю вещественного векторного пространства является трехмерное евклидово «физическое пространство».
49. Постулат (1а) является переместительным законом сложения, а постулат (16) — ассоциативным законом; постулат (1в) гово рит о существовании и единственности нулевого вектора; псстула (2а) является ассоциативным законом умножения, а постулаты (26) и (2в) — распределительными законами для умножения на скаляр; постулат (2г) говорит о том, что умножение «единицы» на вектор дает тот же вектор.
Из этих постулатов следует множество почти очевидных следствий, например, таких:
0>ij: = 0, (—1) -^ ~Ь ijj = 0, (—с) ф =—(сф) и т. п.
Мы не будем перечислять здесь все тривиальные теоремы, надеясь, что читатель сам способен это сделать.
В чем значение введенного понятия об абстрактном комплексном векторном пространстве? Дело в том, что при изучении математических теорий мы постоянно встречаемся с различными совокупностями элементов, которые, помимо других возможных свойств, обладают еще свойством удовлетворять всем аксиомам, относящимся к абстрактному комплексному векторному пространству. Когда мы встречаемся с таким пространством, нет необходимости каждый раз рассматривать его свойства; зная перечисленные аксиомы, можно просто применить их к любой новой совокупности.
50. Теперь можно понять, что совокупность Ж всех физически допустимых волновых функций совместно с волновой функцией, тождественно равной нулю, образует конкретное комплексное векторное пространство. Это пространство конкретно, потому что его векторы являются определенными комплексными функциями пространства и времени. Сравнивая постулаты п. 48 со свойствами со-
209
вокупности волновых функций, перечисленными в п. 47, мы видим, что перечень постулатов занимает больше места. Однако большая часть этих постулатов абстрактного векторного пространства тривиально выполняется совокупностью конкретных волновых функций.
51. Заметим, что, определяя абстрактное комплексное векторное пространство, мы ничего не говорили о его размерности: оно могло быть конечно- или бесконечномерным. Уделим этому вопросу некоторое внимание.
Совокупность N векторов г|зь гр2, . . ., в комплексном векторном пространстве Ж является линейно независимой, если равенство
N
2 сп$п = 0 (51а)
tl— 1
удовлетворяется лишь’-при с1=с2=г- .¦¦=~-cN=0. В противном случае векторы линейно зависимы.
Комплексное векторное пространство имеет размерность N, если в з-том пространстве можно определить совокупность N линейно независимых векторов, но нельзя определить большее число таких векторов. Векторное пространство бесконечномерно, если для любого целого N можно найти N линейно независимых векторов.
Векторное пространство Ж всех физически разумных волн де Бройля является бесконечномерным: имеется бесконечно большое число линейно независимых волновых функций.
52. Мы имели дело с решениями уравнения Клейна — Гордона, но теперь можно сказать, что совокупность решений любого линейного дифференциального уравнения образует (комплексное) векторное пространство. В рамках квантовой механики существующие в природе частицы могут быть описаны различными типами дифференциальных уравнений. Совокупность физически приемлемых решений этих уравнений всегда образует векторное пространство.
