Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
‘) Точка R пространства параметров соответствует не операции вращения, а ее результату. Поэтому вращение полностью определяется начальным и конечным положениями на сфере. Если нужно описать эту операцию, т. е. путь, по которому происходит вращение, следует указать все промежуточные положения сферы. Таким образом, для описания вращения как операции, т. е. пути, по которому достигается конечное положение, нужна кривая в пространстве параметров, или непрерывная последовательность R(t) „вращений", принимающая значение R{0) = E при ( = 0 и переходящая в #(1) = ./?.
110
Глава 10
Если при t = 0 углы Ф и 0 должны обращаться в нуль, возникает разрыв. Поэтому наивное требование;>“чтобы Ф = 0 и 0 = 0 при <р = 0, неприемлемо, и следует найти другое средство для преодоления этой трудности.
Фиг. 1. Соответствие между точками в пространстве параметров и вращениями.
На схеме слева конец стрелки соответствует вращению, которое преобразует дугу, изображенную сплошной линией на схеме справа, в аугу, показанную штрихпунктирной линией.
Наиболее удобными параметрами являются, по-видимому, декартовы координаты ?, tj, С точки с полярными координатами <р/те, 0, Ф, причем $ = (<р/я) sin 0 cos Ф, tj = (<р/гс) sin 0 sin Ф и С = (<р/те) cos 0. Преобразование покоя, тождественный элемент группы, которое раньше соответствовало параметрам Ф, 0, 0, соответствует теперь одной-единственной точке ? = Ti = t = 0 — началу системы координат. Соответствие между точками
I
Фиг. 2. Вращение на фиг. 1, которое переводит дугу, изображенную сплошной линией, в дугу, проведенную штрих-пунктирной линией, - может также описываться углами Эйлера а, р и ¦[.
в пространстве параметров и вращениями показано на фиг. 1, Каждое вращение соответствует одной точке внутри единичной сферы в пространстве ?т[!;.
В этой параметризации имеется также исключение, так что соответствие элементов группы тройкам параметров не является взаимнооднозначным. Две противоположные точки сферической поверхности должны отождествляться, и переход из какой-либо точки сферической поверхности в пространстве ?v]C в противоположную ей точку не следует рассматривать как разрыв пути.
Непрерывные группы
111
Таким образом, пространство параметров стало многосвязным, а соответствие между элементами группы и точками в пространстве параметров — взаимнооднозначным. Эти параметры особенно удобны поэтому для рассмотрения принципиальных вопросов, относящихся к группе вращения.
Само собой разумеется, что это ни в какой мере не препятствует выбору других параметров для формальных расчетов (например, углов Эйлера, фиг. 2), для которых соответствие не является взаимнооднозначным, но с помощью которых явные формулы могут быть записаны проще.
2. Часть группы, соседняя с тождественным элементом, известна как инфинитезимальная группа. Фундаментальная работа С. Ли относилась к инфинитезимальным группам групп преобразований. Мы можем коснуться этих исследований лишь поверхностно и ограничиться основными фактами, опуская все доказательства существования и сходимости, В случае интересующих нас групп доказательства существования могут быть заменены явным указанием „инфинитезимальных элементов".
В дальнейшем h будет означать бесконечно малое число. Пусть
параметры тождественного элемента группы будут л2..............лп.
Тогда рассмотрим п элементов Fv Е2, ..., Fn, причем параметры Fk заданы в виде ¦к1, тс2, ..., \-h, тсА+1, ..., ля. Элементы Е, Fk,
F\, F\, • • • все лежат в одной и той же окрестности, если h достаточно мало, и, таким образом, образуют почти непрерывный набор элементов группы. Чтобы отойти на какое-то расстояние от единичного элемента группы, нужно переходить к очень высоким степеням элемента Fk. Такое однопараметрическое семейство (коммутирующих!) элементов группы соответствует периоду элементов конечной группы.
Просто непрерывная однопараметрическая группа всегда абелева, так как она состоит из одного-единственного периода.
В параметризации трехмерной группы вращений, показанной на фиг. 1, параметрами тождественного элемента являются ? = щ = С = 0; три бесконечно малых элемента {А, 0, 0}, {0, А, 0} и {0, 0, А} являются тремя бесконечно малыми углами вращений вокруг трех координатных осей
Рассмотрим теперь «-параметрическое семейство F\l, F2J,
..., FP„". Ограничимся при этом теми значениями h и pv р2......рп,
для которых все элементы семейства лежат в окрестности тождественного элемента; эти элементы охватывают тогда всю инфините-зимальную группу, поскольку она является «-параметрической. Удобно, по крайней мере, для инфинитезимальных групп, вводить Р\, Р2> • • • > Рп в качестве параметров. Все « параметров тожде-
') S. L i е, Vorlesungen fiber kontlnulerllclie Oruppen mlt geometrlschen Uild anderen Anwendungen, Leipzig, 1893,
112
Глава tO
ственного элемента равны нулю; параметры элементов и'нфините-зимальной группы очень малы.
Элементы, инфинитезимальной группы коммутируют. Если параметры двух сомножителей R и 5 являются величинами порядка малого числа е, то разность между параметрами элементов RS и SR будет порядка е2. Рассмотрим элементы R(t) и 5 (/') с параметрами trv tr2........trn и /'slt t's2......t’sn, где t и t' — не-
