Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
I i
(где R пробегает все пространство группы) имеет место для непрерывных функций в пространстве группы, так как число элементов группы в правой части (10.2), соответствующее элементу объема в пространстве параметров около SR{ = Qt, совпадает с числом элементов группы Rt, содержащихся в том же элементе объема.
Для удобства вычислений сумма в левой части (Ю.2) заменяется интегралом
fj(R)dR = / J (R)g(R)dPl dp2 ... dp,(Ю.2а)
где pv p2...... pn — параметры элемента R, а интегрирование
распространяется на все значения этих параметров, которые определяют элементы группы, т. е. на все пространство группы. Весовая функция g(R) является просто плотностью точек Rt в сумме (10.2) в окрестности элемента R. Левая часть (10.2а) представляет собой сокращенное обозначение интеграла в правой части; он называется интегралом Гурвица, или инвариантным интегралом по пространству группы. Из инвариантной природы плотности g(R) следует, что равенство
J J(SR)dR = f J(R)dR (10.26)
справедливо для всякой непрерывной функции J в пространстве группы (всякой непрерывной функции параметров группы) и для каждого элемента группы S.
Остается лишь показать, что в пространстве группы действительно можно построить инвариантную плотность, и определить эту плотность. Мы пойдем обратным путем: сначала найдем плот-но:ть из предположения об. ее инвариантности, а затем покажем
Непрерывные группы
117
]инвариантный характер полученного распределения. Прежде чем находить инвариантное распределение, следует заметить, что оно может быть определено только с точностью до постоянного множителя; ясно, что если плотность g(R) инвариантна, то всякая плотность, кратная ей, будет также инвариантна. Плотность вблизи одной из точек может быть выбрана произвольно; мы примем, что плотность в окрестности единичного элемента g(E) равна gQ..
Рассмотрим теперь малый элемент объема U в окрестности элемента группы Q (см. фиг. 4). Если величину этого элемента
Фиг. 4. Точки на схеме являются точками суммирования Ri в (10.2); положения, в которые эти отдельные точки переводятся при умножении слева на Q-1, показаны светлыми кружками. В окрестности тождественного элемента плотности точек и кружков равны.
объема обозначить через V, то в нем имеются ^(Q)V^ точек суммирования. Применим теперь постулат инвариантности распределения по отношению к умножению слева на Q-1. Тогда элемент объема U преобразуется в элемент объема U0 (см. фиг. 4), содержащий все точки Q-1/?, причем R находится в U. Обозначим величину элемента объема U0 через V0; тогда число точек суммирования в UQ должно быть равно g0V0, поскольку U0 находится в окрестности единичного элемента. Число точек суммирования Q~1Rl в том же самом объеме равно, однако, ^(Q)V^, так что требование инвариантности дает g (Q) V — g0V0, или
g(Q) = }v~go-
Весовая функция g(Q) пропорциональна увеличению, которое элемент объема ’вблизи Q испытывает при проектировании на окрестность единичного элемента путем умножения слева на Q-1.
Чтобы вычислить VJV, допустим, что U состоит из элементов группы, первый параметр которых лежит между qx и ^1 + Д1,
второй — между <72 и <72-|-Д2........га-й параметр лежит между
<7„ и <7л-|-Дл> где qv q2, •••, q„ — параметры элемента Q. Тогда объем U равен
у = дА...дя.
118
Глава 10
Если предположить, что параметры элемента E—Q~l \qx, q2......qn}
равны нулю, то объем области ?/0 при пренебрежении членами более высоких порядков относительно Д будет, равен
причем последнее выражение вычисляется при rx — p1(Q) — ql, r2 = p2(Q)—q2, .... г п—рп (Q) = qn. Напомним, что {^, —
элемент группы с параметрами qv qn и что pt(R) есть I-й параметр элемента группы R. При дифференцировании по qt элемент группы Q должен рассматриваться постоянным; переменными являются только rt *).
Это равенство дает для g(Q) якобиан
вычисляемый при ql = рх (Q), ..., qn = рп (Q) и являющийся явной формулой для плотности, которую следует принять в окрестности элемента Q с тем, чтобы подстановка Q~1Rl вместо Rt не меняла числа элементов группы в окрестности тождественного элемента. Наоборот, это выражение можно рассматривать как плотность вблизи Q после подстановки QE вместо Е, если плотность вблизи тождественного элемента была равна g0 до подстановки.
Если плотность точек Rt дается выражением (10.3) в каждой точке Q, то плотность точек Q~1R1 будет равна g0 в окрестности единичного элемента для любого Q. Кроме того, плотность точек QRt будет даваться выражением (10.3) в окрестности Q, если плотность точек Rt равна g0 в окрестности Е, так как преобразование Rl—>QRi лишь возвращает точки туда, откуда они „пришли". Это справедливо также для любого Q. Однако следует еще показать, что плотность точек SRt дается выражением (10.3) во всякой точке T = SQ, если плотность точек Rt равна (10.3) во всякой точке Q. Чтобы доказать это, разобьем преобразование 5 на два множителя: S = (SQ)Q Согласно первому замечанию, плотность точек Q lRt в окрестности единичного элемента будет равна gQ.