Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
прерывные переменные. Иначе говоря, Е = R (0) = 5 (0), и t и t' — величины порядка s. Параметры элементов R(t)S(t') и S(t')R(t) можно разложить в ряды Маклорена по / и t'. Ряды для п параметров элементов R (t) S (t') и S (t') R (t) будут иметь вид
«1 + *4 + М2 + г1г’2 + г|/,«'2+........
Д
«я+ *«/. +*'<»/.+
И
«1+^1 + ^!+ «2 +^2 + ^^+.................
«л+*«Я+*'®Я + ••••
Чтобы определить и и к, положим t = t' = 0. Тогда оба произведения R (0)5(0) и 5(0)/?(0) равны Е, и все и к и равны нулю:
«1 = «2 = • • • = ип = «1 = U2 = • • • = «„ = 0.
Чтобы определить v и v, положим лишь /" = 0; тогда R(t)S(0)~ =R (,t)E = R (0 и 5(0) RV) = ER (*) = R (*). Поэтому vx = vx = rv
v2 — v2 = r2......vn = vn — rn. Аналогичным образом, полагая
t — 0, получаем wx = wx = sv w2 = w2 = s2, wn = wn = s„. Это показывает, что параметры рассматриваемых двух произведений одинаковы в пределах рассматриваемых членов. Разница проявляется только в членах, пропорциональных t2, tt' и V , а все эти члены являются величинами порядка е2.
Коммутатизность бесконечно мдлых элементов с учетом членов первого порядка опирается на тот факт, что для произвольных R и S = Е, а также для произвольных S и R*=E коммутативность имеет место точно. Если R лишь слегка Отличается от Е, коммутативность сохраняется приближенно; аналогично Приближенная коммутативность будет иметь место при S Е. Но если одновременно R~ Е и S ~ Е, то коммутативность выполняется особенно хорошо.
Эта теорема принимает очень простой вид для матричных групп. Элементы в окрестности тождественного элемента имеют вид 1 -|- еэ. Тогда
(1 “I- ?а) (1 “I- ?b) = 1 е (а b) -f- ssab
(1 + ?b) (1 + sa) = 1 + ? (b + a) + ?2ba,
Э эти выражения различаются лишь членами порядка *2.
Непрерывные группы
ИЗ
Вышеуказанный выбор параметров, при котором элементам FF%\ FPnn соответствуют параметры ри р2, рп, имеет то специальное свойство, что параметры произведения двух элементов инфииите-зимальной группы могут быть получены, если пренебречь членами высших порядков, путем простого сложений параметров отдельных множителей.
3. В смешанной непрерывной группе все те элементы, которые могут быть получены непрерывным образом из тождественного элемента Е, образуют подгруппу, являющуюся просто непрерывной. В утверждении, что некоторый элемент может быть получен непрерывным образом из тождественного, подразумевается, что существует непрерывное множество элементов R(t), начинающееся с R(0) = E и кончающееся на R(l) = R при /1=1. Если R и
5 — два элемента этого множества, и если R (t) и S(t) — два соответствующих пути, то и произведение R(l)S(l) — RS может быть также получено из тождественного элемента непрерывным образом. Соответствующий путь может быть R(t)S(t). То же самое имеет место для элемента, обратного R, а соответствующий путь есть R(t)_1. Поэтому элементы, достижимые непрерывным образом из тождественного элемента, образуют подгруппу, являющуюся простой непрерывной, так как соответствующая область пространства параметров односвязна.
Элементы, достижимые непрерывным образом из тождественного элемента, образуют даже инвариантную подгруппу смешанной непрерывной группы. Действительно, если R может быть достигнуто непрерывным образом из тождественного элемента, то это будет справедливо также для X~lRX, скажем, по пути X~lR (() X. Смежными классами этой инвариантной подгруппы являются другие несвязные части пространства параметров. Таким образом, факторгруппу можно считать конечной группой порядка, равного числу несвязных частей пространства параметров.
Введем для дальнейшего обозначение {гх, г2.........гп} для элемента группы с параметрами rv г2....................гп. Тогда между обо-
значениями имеются тождественные соотношения
Pk(iru гъ •••• '¦„}) = '* и (МЯ). Ра (Я), •••. pn(R)}=R.
4. Представление непрерывной группы определяется точно так же, как и для конечной группы. Между каждым элементом группы и матрицей D (/?) существует соответствие, так что D (R) D (5) = D (RS). Единственным дополнительным требованием является непрерывность представления. Оно заключается в том, чтобы для двух соседних элементов группы R и 5 все /2 элементов матрицы D(R\X отличались бесконечно мало от соответствующих элементов матрицы D(S)xX. Здесь мы также ограничимся представлениями с отличными от нуля определителями.
114
Глава 10
Распространим теоремы для представлений конечных групп на представления непрерывных групп. При этом можно начать с того обстоятельства, что в первых четырех теоремах и, в частности, при доказательстве соотношений ортогональности (9.30) и (9.31), мы пользовались лишь одним свойством группы, а именно тем, что
можно составить сумму 2-^?> для которой
R
2^/? — 2/s/?. (юл)
