Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
R R
где суммирование распространяется на все элементы группы. Здесь J$ — совершенно произвольные числа (или матрицы), соответствующие каждому элементу группы R, причем соотношение (10.1) справедливо для любого элемента S. В обеих суммах в (10.1) содержатся одни и те же члены, но в различном порядке.
С помощью одной из таких сумм, а именно 2 D (/?) D (/?)+, мы
показали (гл. 9, теорема 1), что представление может быть сделано унитарным. Соотношение ортогональности (гл. 9, теорема 4) также было доказано путем рассмотрения суммы
2D(y)(/?)XD u'){R'1).
R
Теоремы 2 и 3 имели ббльшую связь с теорией матриц. Для их распространения на представления непрерывных групп не требуется привлечения новых групповых свойств.
Если бы можно было определить что-то аналогичное сумме
2 Jr Ддя непрерывных групп (естественно, это был бы интеграл, R
взятый по всей области изменения параметров), то четыре теоремы теории представлений конечных групп могли бы быть перенесены на непрерывные группы.
5. В случае конечных групп соотношение (10.1) основано на
том факте, что последовательность SE, 5Л2. *$Л3...........SAh для
произвольного 5 совпадет, с точностью до порядка, с последовательностью Е, Ау, Л3, ..., Ah. Мы приходим к следующему заключению, тривиальному для случая конечных групп. Если группа параметризована по аналогии со случаем непрерывных групп, то эти две последовательности обладают тем свойством, что одно и то же число элементов группы (один) соответствует каждому элементу объема в пространстве параметров (в этом случае „элементы объема" являются просто точками, соответствующими дискретному набору значений параметров). Поэтому возможность распространить соотношение (10.1) на непрерывный случай зависит от того, сможем ли мы сохранить это свойство в нашем обобщении,
Непрерывные группы
115
На фиг. 3 приведена схема действия умножения на F слева всех элементов группы перестановок трех объектов (7.Е. 1). Такое умножение преобразует каждый элемент в элемент, указываемый стрелкой, йдущей от рассматриваемого элемента. Эта схема иллюстрирует тот факт, что совокупность элементов FR совпадает с совокупностью элементов R, если последняя образует группу.
Фиг. 3. Схематическое представление умножения каждого элемента группы перестановок трех объектов (7.Е.1) на элемент F слева.
То же самое имеет место не только для F, но и для всех элементов 5 группы. Соотношение (10.1) является прямым следствием этого обстоятельства.
Такое же соотношение можно было бы сразу установить для непрерывных групп, если бы в них можно было выбрать множества элементов со сходными свойствами и если последовательность этих множеств могла бы быть выбрана так, чтобы плотность элементов группы в множествах увеличивалась всюду при переходе от одного множества последовательности к другому. Иными словами, соотношение (10.1) могло бы быть легко установлено для непрерывных групп, если бы можно было задать последовательность конечных подгрупп, элементы которых образуют все более и более плотное многообразие в пространстве группы. К сожалению, это невозможно (за исключением абелевых групп); непрерывные группы не могут рассматриваться в общем случае как предельный случай конечных групп. Так, например, наиболее обширной конечной подгруппой трехмерной группы вращений, элементы которой распределены по всему пространству группы, является группа симметрии икосаэдра, имеющая лишь 60 элементов. (Трехмерная группа вращений имеет конечные подгруппы порядка более 60. Они являются, однако, группами симметрии плоских правильных многоугольников и вовсе не заполняют пространство группы равномерно.)
Поскольку большинство непрерывных групп не может рассматриваться как предельные случаи конечных групп, аналоги сумм, входящих в (10.1), должны находиться другим способом. Плотно заполним пространство группы точками. Если обозначить эти точки
через /?,, R2......то в общем случае невозможно добиться того,
чтобы множество точек SRX, SR2, ... совпадало с множеством точек
В
116
Глава 10
/?lt R2, ¦ • • для всех S, которые сами расположены плотно в про-' странстве группы. Однако точки Rx, R2, ... в пространстве группы можно расположить таким образом, чтобы плотность точек SRV SR2, ... была такой же во всех частях пространства группы, как и плотность точек Ru R2, ... в тех же частях пространства группы. Это позволит нам определить интеграл по группе, для которого имеет место соотношение, являющееся аналогом (10.1). Таким образом, схема на фиг. 3 заменяется другой схемой, в которой концы (острия) стрелок, изображающих точки SRV SR2, ..., не совпадают с их началами, т. е. точками Rx, R2, ... Однако плотность концов стрелок будет всюду равна плотности точек
Rv R2.......из которых они исходят. При таком „инвариантном
распределении“ для любой непрерывной функции в пространстве' параметров J(R) равенство
2лл,)=2-/ТО (ю.2)
