Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
В2.....В/,.
Рассмотрим далее
UU+ = КММ+К+ = Vd“I/aV~1MM+V1+d-,/lfV+. (9.23)
В силу (9.24) и так как V унитарно, эрмитово (вещественная диагональная матрица), имеем
UU+ = Vd-'/add-'/aV+ = VV+ =. 1, (9.29)
так что U унитарна. Таким образом, теорема 1а доказана.
Значение этой теоремы заключается в том, что можно ограничиться унитарными преобразованиями подобия, если представления унитарны. Заметим, что если все представления в (9.20) унитарны и неприро^иму, М с необходимостью унитарна, если отвлечься от численного множителя. Это следует из теоремы 2, если применить ее к (9.22а).
‘) См. доказательство теоремы 1, стр. 92.
98
Глава 9
Теорема 4. Четвертая, наиболее важная для практики теорема касается соотношения ортогональности для коэффициентов неприводимого представления. Если
D(1)(?), D(1)(/l2)...
D(2) (Е), D(2)(A)....0(2)(Л)
— два неэквивалентные неприводимые унитарные представления одной и той же группы, то соотношение
2d(1)w;,d(2)(«),?=о (9.30)
R
имеет место для всех элементов с индексами [м и ар, где, как это указано в формуле, суммирование распространяется на все
элементы группы Е, Alt А2...........А1)- Для элементов одного
унитарного неприводимого представления мы имеем
2 D(1)-№ D(1) (R)^, = (9.31)
R ‘
где h — порядок группы, г 1х — размерность представления.
Теорема 4 справедлива потому, что групповые свойства представления позволяют легко построить много матриц М, удовлетворяющих соотношениям (9.11) или (9.8). Тогда равенства (9.30) и (9.31) показывают, что матрица, удовлетворяющая соотношению (9.11), должна быть нулевой матрицей, а матрица, удовлетворяющая соотношению (9.8), — кратной единичной матрице.
В силу групповых свойств все матрицы вида
m = 2d(2)(^)xd(1)(/?_1)
R
удовлетворяют соотношению (9.11) для произвольных матриц X с 12 строками и столбцами. Из групповых свойств вытекает, что
2 D(2) (SR) XD(1) (SRГ1 = 2 D(2) (Я) XD(1) (Я)-1 = М,
R R
так как одни и те же матрицы появляются в левой и правой частях, но в различном порядке. Следовательно,
D(2) (5) М = 2 °(2> ($) °(2) (Я) XD(1) (Я)"1 =
R
= 2 D(2) (SR) XD(1) (SR)~l D(1) (S)
R
или, короче,
D(2) (S) M = MD(1) (S). (9.11a)
*) В дальнейшем R и S всегда будут обозначать элементы группы Е,
Л......А-
Общая теория представлений
99
Тогда теорема 3 утверждает, что М должна быть нулевой матрицей, т. е. для произвольных Х%^
D{2)(/?)„ XlXD{l)(R~\ = 0.
хЛ R
Полагая все матричные элементы Х^, кроме Х^=1, равными нулю, получаем'обобщенную форму соотношения (9.30):
20(2)(Д)а^(1)(/Г% = 0. (9.30а)
R
где D(2)(/?) и D(1)(/?) должны быть неприводимыми, но не обязательно унитарными. Если матрицы D(2)(/?) и D(1)(/?) унитарны,
0(1)(/Г') = [D(1)(/?)]-1 = D(1)(/?)+,
и (9.30а) сводится к (9.30).
Чтобы доказать (9.31), воспользуемся выражением
м = 2в(1)(Д) XD(1)(/?~1),
R
где X — произвольная матрица. Матрица М коммутирует со всеми D(1) (5):
D(1) (5) М = 2 D0) (5) D(I) (/?) XD(1) (/Г1) =
R
= 2 D(1) (SR) XD(1) [(5/?)"1] D(1) (S) = MD(1) (S).
R
Таким образом, теорема 3 требует, чтобы матрица М была кратной единичной матрице, т. е.
2 2 д(1) (Д)„х ад(1) (/?" V=«W.
где с не зависит от (а и ц', но может по-прежнему зависеть от X Если снова выбрать одно определенное Х,,- = 1 и положить остальные ХЛ равными нулю, то получим
где — постоянная для этой частной системы X%^-
Чтобы определить постоянную с,,-, положим [* = [*' и просуммируем по (а от 1 до Zj. Тогда получаемое выражение становится равным сумме произведений D(1)(/?) D(1)(/?_1) = D(1)(?) = (8VV0:
2 2 ~ !)vV ^(1) (R)^ = 2 D{1) (?),.„ = =2 Cw'8№= cwly
100
Глава 9
Таким образом, cvv> = Svv- (Л/Zi). Поэтому мы получаем несколько обобщенную форму соотношения (9.31):
2 = (9.31а)
R ‘
которая для унитарных представлений сводится к (9.31).
Числа
D"’(4.=<’.............D"4\\.=<1
могут рассматриваться как компоненты Л-мерного вектора v^\ пронумерованные элементами группы. Тогда (9.31) означает, что эрмитова длина этого вектора равна V h/lj и что каждая пара этих l\ векторов ортогональна. Кроме того, согласно (9.30), векторы v ортогональны векторам w, получаемым аналогичным образом с помощью некоторого неэквивалентного неприводимого представления:
